Ho passato circa mezz'ora sul problema dei piatti, e ne e' valsa la pena...
Infatti, a forza di apparecchiare, si dimostra in maniera puramente combinatorica un simpatico lemma di TdN, cioe':
sia $ A=\{ a_1,\dots ,a_n,\dots \} $ una successione e $ m $ un intero positivo tali che, per ogni n intero positivo:
$ \displaystyle\sum_{d|n} a_d=m^n $
Dimostrare che, per ogni n intero positivo:
$ n|a_n $
Buon lavoro.
da archimede con furore...
da archimede con furore...
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)
mmm..si vede che a1=m e che per ogni p si ha a(p)=m^p-m e quindi p| a(p) ovviamente. con p e q primi diversi tra loro si ha a(pq)=m^pq +m - (m^p + m^q), anche qua ovvio modulo p e modulo q..
pero non riesco a trovare l'induzione che mi permette di arrivare alla tesi
pero non riesco a trovare l'induzione che mi permette di arrivare alla tesi
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Bellissimo questo problema!
Per ricollegarci ai piatti di Archimende, consideriamo il problema seguente: e' data una tavola circolare con $ n $ posti e si hanno piatti di $ m $ colori. Voglimo sapere quante sono le apparecchiature distinte, dove due apparecchiature sono identificate se esiste una rotazione che porta l'una nell'altra.
Indichiamo con $ x_{n,k} $ il numero di apparecchiature su $ n $ posti che vengono fissate da esattamente $ k $ rotazioni. Allora $ k|n $ e si ha $ x_{n,k}=x_{{n/k},1} $. Inoltre il numero di apparecchiature distinte senza considerare le identificazioni che vengono dalle rotazioni e' ovviamente $ m^n $, e questo ci da la formula
$ m^n=\sum_{k|n}\frac{n}{k}x_{n,k}=\sum_{k|n}\frac{n}{k}x_{{n/k},1}= $
$ =\sum_{d|n}dx_{d,1} $
Allora, se poniamo $ a_n=n\, x_{n,1} $, si ha $ n|a_n $ e la successione $ \{a_n\} $ soddisfa la relazione
$ \sum_{d|n}a_d=m^n $
per ogni $ n $. Poiche' questa relazione determina univocamente gli $ a_n $, segue la tesi.
Per ricollegarci ai piatti di Archimende, consideriamo il problema seguente: e' data una tavola circolare con $ n $ posti e si hanno piatti di $ m $ colori. Voglimo sapere quante sono le apparecchiature distinte, dove due apparecchiature sono identificate se esiste una rotazione che porta l'una nell'altra.
Indichiamo con $ x_{n,k} $ il numero di apparecchiature su $ n $ posti che vengono fissate da esattamente $ k $ rotazioni. Allora $ k|n $ e si ha $ x_{n,k}=x_{{n/k},1} $. Inoltre il numero di apparecchiature distinte senza considerare le identificazioni che vengono dalle rotazioni e' ovviamente $ m^n $, e questo ci da la formula
$ m^n=\sum_{k|n}\frac{n}{k}x_{n,k}=\sum_{k|n}\frac{n}{k}x_{{n/k},1}= $
$ =\sum_{d|n}dx_{d,1} $
Allora, se poniamo $ a_n=n\, x_{n,1} $, si ha $ n|a_n $ e la successione $ \{a_n\} $ soddisfa la relazione
$ \sum_{d|n}a_d=m^n $
per ogni $ n $. Poiche' questa relazione determina univocamente gli $ a_n $, segue la tesi.
I'm the best there is at what I do. But what I do best isn't very nice.