somma delle parti intere

[mod_2]

Sia $ $[x] $ la parte intera di $ $x $, si calcoli la somma
$ $[\sqrt 2]+[\sqrt 4]+[\sqrt 6]+[\sqrt 8]+......+[\sqrt {999998}]+[\sqrt {1000000}]$ $

[jordan]

be, è solo un po contoso. e.g. $ (2n+2)^2 - (2n+1)^2 = 4n+3 $ solo la cardinalità dei numeri m tale che $ [m] = 2n+1 $. considerando che di questi 4n+3 solo 2n+1 sono pari ( e analogo ragionamento per l'altra somatoria) abbiamo :

$ \sum_ {i=1}^{5*10^3} {[ \sqrt {2i} ]}= \sum_ {i=1}^{500} {(2i-1)^2} + \sum_ {i=1}^{499} {2i(2i+1)} + 10^3 $
svolgendo viene $ ( 8* \sum_ {i=1}^{499} {i^2} +4*500^2 ) - ( 2* \sum_ {i=1}^{499} {i} +4*500 ) + (500 + 1000) $

be odio fare i conti ma se poniamo n=499 allora la sommatoria precedente per ovvie regole vale
$ \frac{n(n+1)(8n+7)}{3} + (4*500^2-500) $
senza calcolatrice mi da $ 500 ( 499*1333 + 1999 ) $

ok?

[mod_2]

certo grazie!