disuguaglianza da triangolo

[jordan]

siano $ a_1, a_2, a_3 $ le misure dei tre lati di un triangolo di perimetro $ p $. dimostrare la disuguaglianza e trovare i casi di uguaglianza.

$ \displaystyle 9\prod_{1}^{3}{a_i}\le 2\sum_{1}^{3}{{a_i}^2 (p-a_i)} - \sum_{1}^{3}{{a_i}^3} $



abbastanza facile

[FeddyStra]

Riscrivo il teso in funzione di somme simmetriche di $ a_1 $, $ a_2 $ e $ a_3 $.
$ \displaystyle 9\prod_{i=1}^3a_i=\frac32\sum_{sym} a_1a_2a_3 $.
$ \displaystyle 2\sum_{i=1}^3 a_i^2(p-a_i)=2\sum_{cyc} a_1^2(a_2+a_3)=2\sum_{sym} a_1^2a_2 $.
$ \displaystyle \sum_{i=1}^3a_i^3=\frac12\sum_{sym} a_1^3 $.
La tesi quindi diventa:
$ \displaystyle \frac32\sum_{sym} a_1a_2a_3 \le 2\sum_{sym} a_1^2a_2 - \frac12\sum_{sym} a_1^3 $, ovvero
$ \displaystyle \sum_{sym} a_1^3 + 3\sum_{sym} a_1a_2a_3 \le 4\sum_{sym} a_1^2a_2 $.
Utilizziamo ora il fatto che $ a_1 $, $ a_2 $ e $ a_3 $ sono lati di un triangolo: scriviamo quindi $ a_1=x+y $, $ a_2=y+z $ e $ a_3=z+x $, dove $ x $, $ y $ e $ z $ sono numeri non negativi.
Sostituendo nella disuguaglianza ed effettuando alcuni passaggi si arriva a
$ \displaystyle \sum_{sym} (x+y)^3 + 3\sum_{sym} (x+y)(y+z)(z+x) \le 4\sum_{sym} (x+y)^2(y+z)= $
$ \displaystyle \sum_{sym} (x^3+3x^2y+3xy^2+y^3) + $$ \displaystyle 3\sum_{sym} (x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y+2xyz) $$ \displaystyle \le 4\sum_{sym} (x^2y+x^2z+2xy^2+2xyz+y^3+y^2z)= $
$ \displaystyle 2\sum_{sym} x^3 + 24\sum_{sym} x^2y+ $$ \displaystyle 6\sum_{sym} xyz \le 20\sum_{sym} x^2y+8\sum_{sym} xyz +4\sum_{sym} x^3= $
$ \displaystyle 4\sum_{sym} x^2y \le 2\sum_{sym} xyz+ 2\sum_{sym} x^3= $
$ \displaystyle 2\sum_{sym} (x^3-2x^2y+xyz) \ge 0 $, which holds for Schur.
L'uguaglianza si ha quando $ x=y=z $, da cui $ a_1=a_2=a_3 $, oppure quando due tra $ x $, $ y $ e $ z $ sono uguali e il terzo è $ 0 $, da cui il triangolo risulta essere isoscele.
In conclusione l'uguaglianza si ha quando il triangolo è isoscele.