OliForum Matematico

Direttamente dalla gara di Milano...

Sia $ \displaystyle S=\{1,2,...,n\} $, con $ n $ intero positivo fissato. Dimostrare che ogni funzione $ f $ da $ S $ ai reali positivi soddisfa la disuguaglianza $ \displaystyle \sum_{x,y \in S}\frac{f(x)}{f(y)}\geq n^2 $.

Si raccomanda il consueto buon senso nel non divorare il problema...

xke posti il problema quando sai bene che con quattro lettere è il topic è gia chiuso?

poi sono gusti,ma il secondo era piu carino

aggiungo suggerimento misterico: $ (a-b)^2\geq 0 $

il sottoscritto ha scritto: Si raccomanda il consueto buon senso nel non divorare il problema...

jordan ha scritto: xke posti il problema quando sai bene che con quattro lettere è il topic è gia chiuso? Confused

Ecco, avrei volentieri evitato i toni polemici, ma se proprio insisti...

1) Il fatto che tu trovi il problema banale è facilmente comprensibile, avendo letto alcuni dei tuoi interventi in queste pagine; ciò nonostante, la cosa non ti autorizza in alcun modo a giudicarlo indegno di questo forum!
E poi, perdonami, per quanto bravo tu sia, e non lo nego in alcun modo, al principio di autorità sottostarò solo quando a contestarmi la scelta del problema (pardon, "esercizietto", a scanso di equivoci!) saranno i moderatori.

2) Come si nota dalla postilla al quesito (che certamente non ti sarà sfuggita, constando il mio intervento di tre sole righe!), ero (e sono) ben conscio della sua sostanziale facilità. Ho comunque deciso di scriverlo, siccome mi è piaciuto (e, disgraziatamente, non ho avuto modo di apprezzare il secondo, che non ho svolto!). E ti inviterei a notare che, se si ponesse lo studente medio di fronte a questo problema, ben difficilmente questi non si lascerebbe intimidire dall'apparente sua difficoltà, mentre col senno di poi la soluzione è tutt'altro che complicata: questo mi pare un motivo sufficiente per identificarlo come problema interessante (seppur, ovviamente, solo per certi motivi e non per altri...), valido per chi non può certo ritenersi "forte" nel problem solving. Per lo meno, uno degli aspetti che mi hanno più affascinato della matematica olimpica è stato notare che anche problemi apparentemente inaccessibili possono rivelarsi, con l'idea giusta, facili e, soprattutto, eleganti.

3) Giusto perchè sono pignolo e amante della completezza, mi scriveresti le quattro "lettere" che risolverebbero il problema? Così, per curiosità...
Ah, e mi pareva che le abbreviazioni "stile sms" fossero deprecate in questo forum... o no?!

Uffa .. ma se vi fate le prediche a vicenda, io cosa sto qui a fare??
Btw, Ponnamperuma ha ragione... jordan e wolverine, visto che entrambi mi sembrate fuori età per le oli, leggete qui (non per i problemi scolastici, ma per il ruolo degli universitari nel forum).

premetto che nel problem solving sono una cippa, e penso ve ne siate
accorti

Allora, vi saranno $ \displaystyle \frac{n^2}{2} $ coppie di termini
reciproci (il denominatore puo' essere scelto tra $ n $ termini, il
numeratore pure, quindi $ n^2 $ termini di cui ognuno ha un reciproco). Per
semplicità $ f(x) = a \mbox{ e } f(y) = b $, bene sommiamo questi termini
tra di loro, vogliamo sapere quando sono maggiori di 2.

$ \displaystyle \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2+b^2}{ab} \geq 2 \Leftrightarrow \frac{a^2+b^2-2ab}{ab} \geq 0 $
$ \displaystyle \frac{(a-b)^2}{ab} \geq 0 $

Il numeratore è sempre positivo (è un quadrato!) il denominatore pure,
poichè a e b sono sempre positivi, quindi la relazione è sempre
verificata.

Ma quindi la sommatoria dei nostri $ \displaystyle \frac{n^2}{2} $
termini sarà almeno:

$ \displaystyle \sum_{x,y \in S}\frac{f(x)}{f(y)}\geq \frac{n^2}{2} \cdot 2 $

spero di non aver preso un abbaglio.
ci voleva proprio un problema prima di andare a letto

Mi pare giusto però secondo me dovresti separare gli n $ $ \frac{f(x)}{f(x)} $ $dalle $ $ n \choose 2 $ $ coppie. La risoluzione è uguale.

Poi però spiegaci perchè a un certo punto le a e le b sono diventate x e y

albert_K ha scritto:Mi pare giusto però secondo me dovresti separare gli n $ $ \frac{f(x)}{f(x)} $ $dalle $ $ n \choose 2 $ $ coppie. La risoluzione è uguale.

Poi però spiegaci perchè a un certo punto le a e le b sono diventate x e y

Sì in effetti ci avevo pensato a dividere i casi, comunque il reciproco di 1 è 1 quindi non credo ci dovrebbero essere problemi formali, o no?

le a e b sono diventate y e x perchè nel foglio avevo scritto x al posto di f(x) e y al posto di f(y) cosa che qui non potevo lasciare e nel copiare ... ora sistemo.

il problema è che non ci sono proprio n²/2 elementi che valgono almeno 2, ma: n elementi che valgono 1 e n(n-1)/2 elementi che valgono almeno 2.

Ehm... Coff coff coff....

AM-GM?

Essendo un esercizio facile (ci sono riuscito persino io, dopo un anno e mezzo di "stop olimpico"!) può essere utile per imparare tecniche diverse. Per dire, potreste tentare un'induzione, magari più laboriosa, però deve funzionare. Oppure... non so!