Vediamo se qualcuno ha voglia di divertirsi...
Approfitto del thread (viewtopic.php?t=9846, per la gioia dei moderatori) in geometria per proporvi questa simpatica disuguaglianza: se a,b,c rappresentano i lati di un triangolo di area A, allora $ a^2+b^2+c^2 \geq 4\sqrt{3}A $, con uguaglianza se e solo se a=b=c.
Buon lavoro!
Disuguaglianza di Weitzenböck
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darkcrystal
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Disuguaglianza di Weitzenböck
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
Membro dell'EATO
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chiami $ R $ il raggio circoscritto e $ a_1, a_2, a_3 $ gli angoli tra questi raggi. la tesi diviene $ 4R^2 \sum {(\sin{{a_i}/2})}^2 \ge 2 \sqrt{3} R^2 \sum \sin{a_i} $ da cui ricordando che $ 2{(\sin x)}^2=1-\cos{2x} $ otteniamo dopo qualche passaggio $ \sum {a_i + \frac{\pi}{6}} \le \frac {3}{2} $ vera per jensen.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Ne ho trovata una non è che sia tanto bella ma dovrebbe esser giusta 
.
Sfrutto la formula dell'area per i triangoli in funzione dei lati (non mi ricordo come si chiama) e quindi ho che:
$ A=\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{16}} $
Il fatto che ci sia l'uguaglianza solo per $ a=b=c $ suggerisce l'uso di medie.
La tesi dunque diventa: $ a^2+b^2+c^2 \ge \sqrt{3(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)} $
Ma per am-qm si ha: $ \displaystyle a^2+b^2+c^2 \ge \frac{(a+b+c)^2}{3} $
e per am-gm : $ \displaystyle \frac{(a+b+c)^2}{3} \ge \sqrt{3(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)} $ e dunque è dimostrata.
.Sfrutto la formula dell'area per i triangoli in funzione dei lati (non mi ricordo come si chiama) e quindi ho che:
$ A=\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{16}} $
Il fatto che ci sia l'uguaglianza solo per $ a=b=c $ suggerisce l'uso di medie.
La tesi dunque diventa: $ a^2+b^2+c^2 \ge \sqrt{3(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)} $
Ma per am-qm si ha: $ \displaystyle a^2+b^2+c^2 \ge \frac{(a+b+c)^2}{3} $
e per am-gm : $ \displaystyle \frac{(a+b+c)^2}{3} \ge \sqrt{3(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)} $ e dunque è dimostrata.
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darkcrystal
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darkcrystal
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Alternativamente si vede che tra i triangoli equivalenti quello che minimizza $ a^2+b^2+c^2 $ è quello equilatero e poi si verific che in quel caso c'è l'uguaglianza.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]