OliForum Matematico

Vediamo se qualcuno ha voglia di divertirsi...
Approfitto del thread (viewtopic.php?t=9846, per la gioia dei moderatori) in geometria per proporvi questa simpatica disuguaglianza: se a,b,c rappresentano i lati di un triangolo di area A, allora $ a^2+b^2+c^2 \geq 4\sqrt{3}A $, con uguaglianza se e solo se a=b=c.

Buon lavoro!

chiami $ R $ il raggio circoscritto e $ a_1, a_2, a_3 $ gli angoli tra questi raggi. la tesi diviene $ 4R^2 \sum {(\sin{{a_i}/2})}^2 \ge 2 \sqrt{3} R^2 \sum \sin{a_i} $ da cui ricordando che $ 2{(\sin x)}^2=1-\cos{2x} $ otteniamo dopo qualche passaggio $ \sum {a_i + \frac{\pi}{6}} \le \frac {3}{2} $ vera per jensen.

Ne ho trovata una non è che sia tanto bella ma dovrebbe esser giusta .
Sfrutto la formula dell'area per i triangoli in funzione dei lati (non mi ricordo come si chiama) e quindi ho che:

$ A=\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{16}} $

Il fatto che ci sia l'uguaglianza solo per $ a=b=c $ suggerisce l'uso di medie.

La tesi dunque diventa: $ a^2+b^2+c^2 \ge \sqrt{3(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)} $

Ma per am-qm si ha: $ \displaystyle a^2+b^2+c^2 \ge \frac{(a+b+c)^2}{3} $

e per am-gm : $ \displaystyle \frac{(a+b+c)^2}{3} \ge \sqrt{3(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)} $ e dunque è dimostrata.

Citando il Maestro...

viewtopic.php?t=9813&start=4&highlight=jordan

E io posso assicurare che non è ancora stata tirata fuori la soluzione più "semplice" (nel senso che praticamente non bisogna pensare )

più facile?boh,l'altra era due righe,questa una sola..

al posto di $ c^2 $ uso carnot e al posto di A la formula dell'area da cui $ a^2+b^2 \ge 2ab \ge 2 ab \sin {(x+{\frac{\pi}{6}})} $dove x è l'angolo tra a e b

Ecco, si, intendevo quella... però poteva anche venire in mente a qualcun altro!

edriv ha scritto:Citando il Maestro...

viewtopic.php?t=9813&start=4&highlight=jordan

Alternativamente si vede che tra i triangoli equivalenti quello che minimizza $ a^2+b^2+c^2 $ è quello equilatero e poi si verific che in quel caso c'è l'uguaglianza.