dimostrare che con a,b,c razionali l'unica soluzione è $ a=b=c=0 $
malgrado l'aiuto di EvaristeG non ci sono riuscito
mi sta facendo impazzire
mi sta facendo impazzire
$ a^3+2b^3+4c^3=8abc $
dimostrare che con a,b,c razionali l'unica soluzione è $ a=b=c=0 $
malgrado l'aiuto di EvaristeG non ci sono riuscito
dimostrare che con a,b,c razionali l'unica soluzione è $ a=b=c=0 $
malgrado l'aiuto di EvaristeG non ci sono riuscito
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui
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l'Apprendista_Stregone
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- Iscritto il: 29 lug 2007, 00:41
Vediamo un pò...si dovrebbe poter far così:
vedi che ci sono 3 termini divisibili per 2. Convien spostarli tutti da una stessa parte:
$ (*) a^3=8abc-2b^3-4c^3 $
Allora dici: $ 2\vert RHS \Rightarrow 2\vert LHS $
Però in $ a^3 $ al minimo ci sono 3 "2". Dunque: $ a=2a_1 $
$ 8a_1^3=16a_1bc-2b^3-4c^3 $
Semplifichi e ottieni:
$ 4a_1^3=8a_1bc-b^3-2c^3 $
Lo stesso ragionamento fatto per $ a $ lo fai per $ b^3 $ che se ne è restato solo soletto.
Dunque $ 2\vert b \Rightarrow b=2b_1 $
$ 4a_1^3=16a_1b_1c-8b_1^3-2c^3 $
Semplifichi di nuovo:
$ 2a_1^3=8a_1b_1c-4b_1^3-c^3 $
Nuovamente, stesso ragionamento per $ c $, dunque $ c=2c_1 $
Sostituendo e semplificando, ottengo di nuovo:
$ a_1^3=8a_1b_1c_1-2b_1^3-4c_1^3 $ che è analoga alla $ (*) $.
Questo cosa vuol dire? Vuol dire che nonostante noi tentassimo di trovare degli $ a_i, b_i, c_i $ più piccoli degli $ a,b,c $ non possiamo andare a diminuire all'infinito perchè si tratta di interi positivi. Dunque l'unico caso possibile è che siano 0.
Dimenticavo che il nome del metodo è proprio quello della discesa infinita
vedi che ci sono 3 termini divisibili per 2. Convien spostarli tutti da una stessa parte:
$ (*) a^3=8abc-2b^3-4c^3 $
Allora dici: $ 2\vert RHS \Rightarrow 2\vert LHS $
Però in $ a^3 $ al minimo ci sono 3 "2". Dunque: $ a=2a_1 $
$ 8a_1^3=16a_1bc-2b^3-4c^3 $
Semplifichi e ottieni:
$ 4a_1^3=8a_1bc-b^3-2c^3 $
Lo stesso ragionamento fatto per $ a $ lo fai per $ b^3 $ che se ne è restato solo soletto.
Dunque $ 2\vert b \Rightarrow b=2b_1 $
$ 4a_1^3=16a_1b_1c-8b_1^3-2c^3 $
Semplifichi di nuovo:
$ 2a_1^3=8a_1b_1c-4b_1^3-c^3 $
Nuovamente, stesso ragionamento per $ c $, dunque $ c=2c_1 $
Sostituendo e semplificando, ottengo di nuovo:
$ a_1^3=8a_1b_1c_1-2b_1^3-4c_1^3 $ che è analoga alla $ (*) $.
Questo cosa vuol dire? Vuol dire che nonostante noi tentassimo di trovare degli $ a_i, b_i, c_i $ più piccoli degli $ a,b,c $ non possiamo andare a diminuire all'infinito perchè si tratta di interi positivi. Dunque l'unico caso possibile è che siano 0.
Dimenticavo che il nome del metodo è proprio quello della discesa infinita
bellissima dimostrazione...
E belo anche il metodo della discesa infinita (non pensavo che un metodo che fu utilizzato per fermat si potesse utilizzare anche per questi esercizi)
Ne avevo già sentito parlare ma mai utilizzato...e direi che funziona...
Comunque...
La dimostrazione và oltre gli interi positivi e prevede i razionali...
interi positivi e negativi, fratti positivi e negativi...
E belo anche il metodo della discesa infinita (non pensavo che un metodo che fu utilizzato per fermat si potesse utilizzare anche per questi esercizi)
Ne avevo già sentito parlare ma mai utilizzato...e direi che funziona...
Comunque...
La dimostrazione và oltre gli interi positivi e prevede i razionali...
interi positivi e negativi, fratti positivi e negativi...
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui
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l'Apprendista_Stregone
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Per quanto riguarda i numeri frazionari dovrebbe bastare scrivere $ a,b,c $ come frazione e poi fare il m.c.m. per poi riapplicare la discesa infinita.
There's a feeling I get when I look to the west
And my spirit is crying for leaving
In my thoughts I have seen rings of smoke through the trees
And the voices of those who stand looking
And my spirit is crying for leaving
In my thoughts I have seen rings of smoke through the trees
And the voices of those who stand looking
comunque come dice l'Apprendista Stregone dovrebbe andar bene.
ma si...in linea di massima è dimostrato...
Discesa infinita...chi l'avrebbe mai detto...
Discesa infinita...chi l'avrebbe mai detto...
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui
Bella dimostrazione, mi piacerebbe però vederla applicata anche ai razionali. Non è che potreste postarla, giusto per darmi un'idea di come procedere (almeno fino alla prima semplificazione, poi il concetto si capisce).
Grazie, scusate il disturbo, ma sono sicuro che se riesco a capire bene questa dimostrazione, mi tornerà utile in futuro.
Grazie, scusate il disturbo, ma sono sicuro che se riesco a capire bene questa dimostrazione, mi tornerà utile in futuro.
"L'apprendere molte cose non insegna l'intelligenza"
Eraclito
Eraclito
$ \displaystyle a=\frac{x}{p},b=\frac{y}{q},c=\frac{z}{m} $
con $ (x,p)=1,(y,q)=1,(z,m)=1 $
$ \displaystyle \frac{x^3}{p^3}+2\frac{y^3}{q^3}+4\frac{z^3}{m^3}=8\frac{xyz}{pmq} $
$ x^3q^3m^3+2y^3p^3m^3+4z^3p^3q^3=8(xyz)p^2q^2m^2 $
$ 2\vert x^3q^3m^3\Rightarrow 2\vert xqm $ e qui si parte con le sostituzioni che incasinano notevolmente il problema.
con $ (x,p)=1,(y,q)=1,(z,m)=1 $
$ \displaystyle \frac{x^3}{p^3}+2\frac{y^3}{q^3}+4\frac{z^3}{m^3}=8\frac{xyz}{pmq} $
$ x^3q^3m^3+2y^3p^3m^3+4z^3p^3q^3=8(xyz)p^2q^2m^2 $
$ 2\vert x^3q^3m^3\Rightarrow 2\vert xqm $ e qui si parte con le sostituzioni che incasinano notevolmente il problema.
nn c'e' bisogno di tutto qst "casino" ! Basta notare che l'equazione e omogenea, e quindi se i nostri a, b e c nn sono interi li facciamo diventare noi, per cui possiamo assumere wlog che siano interi e procedere con la discesa infinita!
La soluzione di EUCLA di qualche post fa andava bene, pero doveva dire che, per omogeneita, possiamo assumere wlog che a, b e c sono interi.
! Basta notare che l'equazione e omogenea, e quindi se i nostri a, b e c nn sono interi li facciamo diventare noi, per cui possiamo assumere wlog che siano interi e procedere con la discesa infinita!La soluzione di EUCLA di qualche post fa andava bene, pero doveva dire che, per omogeneita, possiamo assumere wlog che a, b e c sono interi.
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FrancescoVeneziano
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Vorrei sottolineare che la riduzione del problema da "soluzioni razionali" a "soluzioni intere" è indipendente dal metodo della discesa infinita ed è legato al fatto che l'equazione è omogenea.
I due problemi (determinare le soluzioni intere o le soluzioni razionali) sono in generale distinti e si trattano con metodi diversi, in particolare togliere i denominatori è sostanzialmente l'unico modo elementare per trattare le soluzioni razionali. È importante tenere a mente che quando le equazioni in questione sono omogenee invece, trovare le soluzioni razionali o le soluzioni intere è esattamente la stessa cosa perché se $ \ (x_1,\dotsc,x_n) $ è una soluzione, lo è anche $ \ (ax_1,\dotsc,ax_n) $ per ogni razionale $ \ a $ e quindi da ogni soluzione razionale si può ottenere una soluzione intera e ogni soluzione razionale può essere ottenuta da una soluzione intera. Inoltre, e sempre per lo stesso motivo, nello studio delle soluzioni intere si può supporre che una soluzione non banale sia data da interi coprimi, basta dividerli tutti per un eventuale massimo comun divisore.
Utilizzando un punto di vista meno elementare, la differenza tra le soluzioni razionali o intere può essere interpretata "geometricamente" pensandole come punti nello spazio proiettivo o nello spazio affine.
I due problemi (determinare le soluzioni intere o le soluzioni razionali) sono in generale distinti e si trattano con metodi diversi, in particolare togliere i denominatori è sostanzialmente l'unico modo elementare per trattare le soluzioni razionali. È importante tenere a mente che quando le equazioni in questione sono omogenee invece, trovare le soluzioni razionali o le soluzioni intere è esattamente la stessa cosa perché se $ \ (x_1,\dotsc,x_n) $ è una soluzione, lo è anche $ \ (ax_1,\dotsc,ax_n) $ per ogni razionale $ \ a $ e quindi da ogni soluzione razionale si può ottenere una soluzione intera e ogni soluzione razionale può essere ottenuta da una soluzione intera. Inoltre, e sempre per lo stesso motivo, nello studio delle soluzioni intere si può supporre che una soluzione non banale sia data da interi coprimi, basta dividerli tutti per un eventuale massimo comun divisore.
Utilizzando un punto di vista meno elementare, la differenza tra le soluzioni razionali o intere può essere interpretata "geometricamente" pensandole come punti nello spazio proiettivo o nello spazio affine.
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.
