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$ a^3+2b^3+4c^3=8abc $

dimostrare che con a,b,c razionali l'unica soluzione è $ a=b=c=0 $

malgrado l'aiuto di EvaristeG non ci sono riuscito

Provato ad usare il principio della discesa infinita?

Vediamo un pò...si dovrebbe poter far così:

vedi che ci sono 3 termini divisibili per 2. Convien spostarli tutti da una stessa parte:

$ (*) a^3=8abc-2b^3-4c^3 $

Allora dici: $ 2\vert RHS \Rightarrow 2\vert LHS $

Però in $ a^3 $ al minimo ci sono 3 "2". Dunque: $ a=2a_1 $

$ 8a_1^3=16a_1bc-2b^3-4c^3 $

Semplifichi e ottieni:

$ 4a_1^3=8a_1bc-b^3-2c^3 $

Lo stesso ragionamento fatto per $ a $ lo fai per $ b^3 $ che se ne è restato solo soletto.

Dunque $ 2\vert b \Rightarrow b=2b_1 $

$ 4a_1^3=16a_1b_1c-8b_1^3-2c^3 $

Semplifichi di nuovo:

$ 2a_1^3=8a_1b_1c-4b_1^3-c^3 $

Nuovamente, stesso ragionamento per $ c $, dunque $ c=2c_1 $

Sostituendo e semplificando, ottengo di nuovo:

$ a_1^3=8a_1b_1c_1-2b_1^3-4c_1^3 $ che è analoga alla $ (*) $.

Questo cosa vuol dire? Vuol dire che nonostante noi tentassimo di trovare degli $ a_i, b_i, c_i $ più piccoli degli $ a,b,c $ non possiamo andare a diminuire all'infinito perchè si tratta di interi positivi. Dunque l'unico caso possibile è che siano 0.

Dimenticavo che il nome del metodo è proprio quello della discesa infinita

[EUCLA::post]
Molto bello!

bellissima dimostrazione...
E belo anche il metodo della discesa infinita (non pensavo che un metodo che fu utilizzato per fermat si potesse utilizzare anche per questi esercizi)

Ne avevo già sentito parlare ma mai utilizzato...e direi che funziona...

Comunque...

La dimostrazione và oltre gli interi positivi e prevede i razionali...
interi positivi e negativi, fratti positivi e negativi...

Per quanto riguarda i numeri frazionari dovrebbe bastare scrivere $ a,b,c $ come frazione e poi fare il m.c.m. per poi riapplicare la discesa infinita.

Ecco eran razionali, la mia solita distrazione comunque come dice l'Apprendista Stregone dovrebbe andar bene.
Per quanto riguarda il fatto dei negativi, pensali che si avvicinano comunque allo zero

ma si...in linea di massima è dimostrato...
Discesa infinita...chi l'avrebbe mai detto...

Bella dimostrazione, mi piacerebbe però vederla applicata anche ai razionali. Non è che potreste postarla, giusto per darmi un'idea di come procedere (almeno fino alla prima semplificazione, poi il concetto si capisce).

Grazie, scusate il disturbo, ma sono sicuro che se riesco a capire bene questa dimostrazione, mi tornerà utile in futuro.

$ \displaystyle a=\frac{x}{p},b=\frac{y}{q},c=\frac{z}{m} $
con $ (x,p)=1,(y,q)=1,(z,m)=1 $

$ \displaystyle \frac{x^3}{p^3}+2\frac{y^3}{q^3}+4\frac{z^3}{m^3}=8\frac{xyz}{pmq} $

$ x^3q^3m^3+2y^3p^3m^3+4z^3p^3q^3=8(xyz)p^2q^2m^2 $

$ 2\vert x^3q^3m^3\Rightarrow 2\vert xqm $ e qui si parte con le sostituzioni che incasinano notevolmente il problema.

nn c'e' bisogno di tutto qst "casino" ! Basta notare che l'equazione e omogenea, e quindi se i nostri a, b e c nn sono interi li facciamo diventare noi, per cui possiamo assumere wlog che siano interi e procedere con la discesa infinita!
La soluzione di EUCLA di qualche post fa andava bene, pero doveva dire che, per omogeneita, possiamo assumere wlog che a, b e c sono interi.

Vorrei sottolineare che la riduzione del problema da "soluzioni razionali" a "soluzioni intere" è indipendente dal metodo della discesa infinita ed è legato al fatto che l'equazione è omogenea.

I due problemi (determinare le soluzioni intere o le soluzioni razionali) sono in generale distinti e si trattano con metodi diversi, in particolare togliere i denominatori è sostanzialmente l'unico modo elementare per trattare le soluzioni razionali. È importante tenere a mente che quando le equazioni in questione sono omogenee invece, trovare le soluzioni razionali o le soluzioni intere è esattamente la stessa cosa perché se $ \ (x_1,\dotsc,x_n) $ è una soluzione, lo è anche $ \ (ax_1,\dotsc,ax_n) $ per ogni razionale $ \ a $ e quindi da ogni soluzione razionale si può ottenere una soluzione intera e ogni soluzione razionale può essere ottenuta da una soluzione intera. Inoltre, e sempre per lo stesso motivo, nello studio delle soluzioni intere si può supporre che una soluzione non banale sia data da interi coprimi, basta dividerli tutti per un eventuale massimo comun divisore.

Utilizzando un punto di vista meno elementare, la differenza tra le soluzioni razionali o intere può essere interpretata "geometricamente" pensandole come punti nello spazio proiettivo o nello spazio affine.

Jacobi ha scritto: La soluzione di EUCLA di qualche post fa andava bene, pero doveva dire che, per omogeneita, possiamo assumere wlog che a, b e c sono interi.

effettivamente