OliForum Matematico

riesumando un vecchio thread http://olimpiadi.sns.it/oliForum/viewto ... ht=cerchio,
mi chiedevo se non ci fosse un altro modo elementare, oltre alla misura di Lebesgue (?), alle due classi contigue di poligoni inscritti e circoscritti e all'integrazione della funzione circonferenza, per dimostrare $ C=2 \pi r $

Beh, la risposta precisa a questa domanda dipende da due cose:
1) Come definisci la lunghezza di una circonferenza
2) Come definisci il numero $ \pi $

già.. e occhio alla seconda definizione!

In 1897 the State House of Representatives of Indiana unanimously passed a bill setting pi equal to 16/(sqrt 3), which approximately equals 9.2376!

(scusate, non ho resistito)

per la 1), il modo migliore per definirla credo sia come elemento separatore delle due classi contigue formate dalla misura dei poligoni regolari inscritti e circoscritti; il che però non lascerebbe spazio a definizioni alternative

per la 2), direi $ \pi=\displaystyle\lim_{n->+\infty}nsin \frac{180°}{n} $, nella circonferenza di raggio 1/2, come implicitamente aveva fatto Archimede per qualche cifra decimale, il che però ancora una volta è forse limitante rispetto a formulazioni alternative più elementari

** in effetti l'unica cosa di non elementare qui dentro è il processo di limite, che però, almeno implicitamente, non può essere abbandonato, trattandosi di misurare linee curve (come mi è stato suggerito)

Con la 2) c'è qualche problemuccio. Allora, intanto quel "nella circonferenza di raggio 1/2" non ho capito cosa significhi. Comunque tu definisci

$ \pi = \lim_{n \rightarrow \infty} n \sin \left( \frac{180^{\circ}}{n} \right). $

Però bisogna accordarsi su quella funzione seno. Ci sono vari modi di definire il seno, ma il seno di un angolo in gradi non è definito, di solito. La funzione seno, con qualsiasi delle definizioni usuali, è periodica di periodo $ 2 \pi $ e non 360. Se usiamo dunque questa convenzione la tua definizione diventa

$ \pi = \lim_{n \rightarrow \infty} n \sin \left( \frac{\pi}{n} \right), $

che è un'identità. Ma così non definisci pigreco, che appare anche a destra.

Immagino che tu il realtà intenda che
$ \sin \left( \frac{180^{\circ}}{n} \right) $
è l'altezza del triangolino che ha un angolo pari a 1/n-esimo dell'angolo piatto nell'origine. Con questa definizione vedi subito che allora la tua definizione diventa
$ \pi = \frac{1}{2}\lim_{n \rightarrow \infty} P_n, $
dove Pn è il perimetro del poligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza unitaria. Infatti ottieni questo poligono mettendo insieme n triangolini.

Il perimetro di un poligono di n lati inscritto in una circonferenza di raggio r è allora $ P_n r $, che tende a $ 2 \pi r. $ Dunque il tuo problema diventa:

Dimostrare data una circonferenza C di raggio r sono uguali:
A. Il limite dei perimetri dei poligoni regolari di n lati inscritti in C (che è $ 2\pi r $, secondo la tua definizione di pigreco)
B. L'elemento separatore delle due classi contigue formate dalla misura dei poligoni regolari inscritti e circoscritti (che è la tua definizione di lunghezza della circonferenza).

Per dimostrare che i due numeri A e B sono uguali usi il fatto che i numeri $ P_n r $ crescono con n, dunque $ A \geq P_n r $ per ogni n.

D'altra parte $ P_n r $ è minore di B per ogni n, dunque passando al limite $ A \leq B $. Visto che B è l'elemento separatore, è minore delle lunghezza dei poligoni circoscritti. Dunque A è maggiore della lunghezza dei poligoni inscritti, e minore di quella di poligoni circoscritti. perciò A è l'elemento separatore, ovvero A = B.

Naturalmente ho usato il fatto che le due classi sono veramente contigue, che andrebbe dimostrato anche solo per dare la tua definizione 1).

Spero che si capisca qualche cosa, comunque chiedi pure chiarimenti.

nella 2) la circonferenza di raggio r=1/2 è quella che ti permette di concludere che il lato del poligono inscritto è $ 2*1/2sin(180/n) $ che fa poi tendere il perimetro a pi, con la notazione impropria che tu hai evidenziato.

ciò che io mi chiedevo all'inizio, era se esistessero altre vie alternative per giungere a questo risultato...

Secondo me (e soprattutto secondo chi mi insegna) il modo migliore è definire
$ \displaystyle \cos \left[ x \right]:= \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{{\left(-1\right)}^n x^{2n}}{\left(2n \right)!} \ \ \ \ \ \ \ $ e poi
$ \displaystyle \pi:=\mbox{"il più piccolo }c \in \mathbb{R} \mbox{ tale che} \ \ \cos \left[ \frac{c}{2} \right]=0 \mbox{"} $
(Esistenza e unicità dimostrabili)

Poi dedurre tutte le proprietà delle funzioni trigonometriche e integrare la circonferenza!!

Hmm allora, di definizioni ce n'è tante.
ad esempio, per definire il seno e il coseno si può fare così (mi riferisco al mio messaggio).
Pi è poi definito come primo zero, come periodo, come limite, come volete insomma.
Secondo me il problema sta piuttosto nel dire cos'è la lunghezza di una curva (visto che poi, comunque si definisca pi, tale definizione è abbastanza facilmente riconducibile alla misura della circonferenza).