omologia armonica, riflessioni proiettive
Inviato: 04 gen 2008, 16:58
Scusate se continuo a postare esercizi, ma non riesco a procedere e spero davvero che qualcuno riesca a darmi una mano! Grazie in anticipo a tutti coloro che mi risponderanno!
Mi trovo nello spazio proiettivo n-dimensionale che indico con $ \mathbb{R}P^n $. Inoltre indico con $ |x,y| $ il prodotto interno delle coordinate omogenee di $ x,y $ per ogni $ x,y \in \mathbb{R}P^n $.
Sia $ p $ un punto di $ \mathbb{R}P^n $ e $ \Pi $ un iperpiano dato da $ \{v \in \mathbb{R}P^n | \; |v,n|=0\} $ per un certo $ n \in \mathbb{R}P^n $ fissato. Allora la riflessione proiettiva con centro$ p $ e asse $ \Pi $ è la trasformazione proiettiva $ f: \mathbb{R}P^n \rightarrow \mathbb{R}P^n $ con insieme di punti fissi $ F=\{p\} \cup \Pi $, la cui azione su $ x $ non appartenente a $ F $ è definita come segue: si costruisca la retta $ l $ congiungente $ p $ e $ x $ e si trovi la sua unica intersezione $ q $ con $ \Pi $. Allora $ f(x) $ giace su $ l $ e soddisfa il fatto che il birapporto di f(x),p,x,q sia uguale a -1.
Provare che:
1. f è ben definita
2. che f(x)=x-2(|x,n|/|p,n|)p (scusate ma mi dice dangerous formula)
3. Calcolare f nel caso in ci si trovi in $ \mathbb{R}P^2 $, $ p=(1,1,1) $ e $ \Pi $ sia determinato dall'equazione x+y-z=0
Grazie!
Mi trovo nello spazio proiettivo n-dimensionale che indico con $ \mathbb{R}P^n $. Inoltre indico con $ |x,y| $ il prodotto interno delle coordinate omogenee di $ x,y $ per ogni $ x,y \in \mathbb{R}P^n $.
Sia $ p $ un punto di $ \mathbb{R}P^n $ e $ \Pi $ un iperpiano dato da $ \{v \in \mathbb{R}P^n | \; |v,n|=0\} $ per un certo $ n \in \mathbb{R}P^n $ fissato. Allora la riflessione proiettiva con centro$ p $ e asse $ \Pi $ è la trasformazione proiettiva $ f: \mathbb{R}P^n \rightarrow \mathbb{R}P^n $ con insieme di punti fissi $ F=\{p\} \cup \Pi $, la cui azione su $ x $ non appartenente a $ F $ è definita come segue: si costruisca la retta $ l $ congiungente $ p $ e $ x $ e si trovi la sua unica intersezione $ q $ con $ \Pi $. Allora $ f(x) $ giace su $ l $ e soddisfa il fatto che il birapporto di f(x),p,x,q sia uguale a -1.
Provare che:
1. f è ben definita
2. che f(x)=x-2(|x,n|/|p,n|)p (scusate ma mi dice dangerous formula)
3. Calcolare f nel caso in ci si trovi in $ \mathbb{R}P^2 $, $ p=(1,1,1) $ e $ \Pi $ sia determinato dall'equazione x+y-z=0
Grazie!