Definita la funzione $ f: N->N $ come:
$ f(1)=1 $
$ f(n)=f(n-1)-n $ se $ f(n-1)>n $
$ f(n)=f(n-1)+n $ se $ f(n-1)\le n $ $ \forall n \ge 2 $.
Sia $ S= ${$ n \in N t.c. f(n)=1993 $}.
i) Dimostrare che l'insieme S contiene infiniti elementi
ii)Trovare il più piccolo elemento di S
iii)se scriviamo gli elementi di S in ordine crescente come $ n_1<n_2<... $, allora il rapporto $ \frac{n_{i+1}}{n_i} $ tende a 3 quando $ i $ tende a infinito
quest'esercizio lo feci due anni fa(all'epoca non sapevo manco lontanamente cos'era un limite), sono ancora curioso di sapere se ho indovinato la risposta..
dalla imo shortlist del 93 (credo)
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darkcrystal
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Butto alle ortiche tutto il formalismo, tanto penso si capiscano le idee che ci sono dietro.
Notiamo questo: se $ k $ è tale che $ f(k)=1 $, allora $ f(k+1)=k+2, f(k+2)=2k+4 $ e $ f(k+1+2j)=k+2-j $, finchè resta positivo, e contemporaneamente $ f(k+2+2j)=2k+4+j $, fino a quando non si incontra un nuovo punto in cui la funziona fa 1 e questo ciclo ricomincia.
Chiamiamo "successione crescente" la serie di valori f(k+2+2j), e "decrescente" quella dei termini f(k+1+2j)
D'altra parte ci vuole poco a vedere quale è il primo punto dopo $ k $ in cui la funzione fa nuovamente 1: è in corrispondenza di quel $ j $ tale che $ k+2-j=1 \Rightarrow j=k+1 \Rightarrow f(k+2+2(k+1))=f(3k+3)=1 $.
D'altra parte la successione decrescente parte da $ f(k+1) $ (dove k rappresenta stavolta il generico intero per cui la funzione da 1) e quella crescente parte da $ f(k+2) $, per cui ha il suo massimo in $ 3k+5 $ (questo è solo un conticino, di vedere per quanto la funzione continua a salire prima che la serie discendente arrivi a 1).
Per la relazione trovata fra i punti in cui la funzione fa 1 abbiamo $ k_1=1, k_2=6, k_3=21, k_4=66, $$ k_5=201, k_6=606, k_7=1821, k_8=5466, ... $.
E' evidente che per i k successivi la discendente parte da $ f(k_n+1)>f(k_8+1)=5468 $, un valore che è maggiore di 1993 e dunque, dato che tocca tutti gli interi fino a 1, tocca anche 1993: ciò prova che in S ci sono infiniti elementi
Per quel che riguarda il minimo, notiamo che 1821 è troppo piccolo per riuscire a toccare 1993 nella serie discendente, e troppo grosso per toccarlo nella serie ascendente (che parte infatti da 3646). 5466 invece va bene, e facendo due conti (dev'essere $ f(5466+1+2j)=1993 \Rightarrow 5466+2-j=1993 \Rightarrow $$ j=3475 \Rightarrow f(5466+1+2*3475)=1993 \Rightarrow f(12417)=1993 $ ) il minimo di S risulta 12417
Per il rapporto tra gli elementi consecutivi, siccome risulta che $ f(3k+1-2*1991)=1993 $ per ogni k di quelli definiti sopra (e solo per questi; queste ultime affermazioni seguono dagli stessi ragionamenti effettuati sopra considerando il generico k al posto di $ k_8 $), il rapporto tra due termini successivi è $ \frac{3k_{n+1}+1-2*1991}{3k_n+1-2*1991}=\frac{3(3k_n+3)+1-2*1991}{3k_n+1-2*1991} $ che tende evidentemente a 3 quando k_n tende all'infinito.
Se non si capisse nulla, cosa probabile, tenterò con il formalismo
Ciao!
Notiamo questo: se $ k $ è tale che $ f(k)=1 $, allora $ f(k+1)=k+2, f(k+2)=2k+4 $ e $ f(k+1+2j)=k+2-j $, finchè resta positivo, e contemporaneamente $ f(k+2+2j)=2k+4+j $, fino a quando non si incontra un nuovo punto in cui la funziona fa 1 e questo ciclo ricomincia.
Chiamiamo "successione crescente" la serie di valori f(k+2+2j), e "decrescente" quella dei termini f(k+1+2j)
D'altra parte ci vuole poco a vedere quale è il primo punto dopo $ k $ in cui la funzione fa nuovamente 1: è in corrispondenza di quel $ j $ tale che $ k+2-j=1 \Rightarrow j=k+1 \Rightarrow f(k+2+2(k+1))=f(3k+3)=1 $.
D'altra parte la successione decrescente parte da $ f(k+1) $ (dove k rappresenta stavolta il generico intero per cui la funzione da 1) e quella crescente parte da $ f(k+2) $, per cui ha il suo massimo in $ 3k+5 $ (questo è solo un conticino, di vedere per quanto la funzione continua a salire prima che la serie discendente arrivi a 1).
Per la relazione trovata fra i punti in cui la funzione fa 1 abbiamo $ k_1=1, k_2=6, k_3=21, k_4=66, $$ k_5=201, k_6=606, k_7=1821, k_8=5466, ... $.
E' evidente che per i k successivi la discendente parte da $ f(k_n+1)>f(k_8+1)=5468 $, un valore che è maggiore di 1993 e dunque, dato che tocca tutti gli interi fino a 1, tocca anche 1993: ciò prova che in S ci sono infiniti elementi
Per quel che riguarda il minimo, notiamo che 1821 è troppo piccolo per riuscire a toccare 1993 nella serie discendente, e troppo grosso per toccarlo nella serie ascendente (che parte infatti da 3646). 5466 invece va bene, e facendo due conti (dev'essere $ f(5466+1+2j)=1993 \Rightarrow 5466+2-j=1993 \Rightarrow $$ j=3475 \Rightarrow f(5466+1+2*3475)=1993 \Rightarrow f(12417)=1993 $ ) il minimo di S risulta 12417
Per il rapporto tra gli elementi consecutivi, siccome risulta che $ f(3k+1-2*1991)=1993 $ per ogni k di quelli definiti sopra (e solo per questi; queste ultime affermazioni seguono dagli stessi ragionamenti effettuati sopra considerando il generico k al posto di $ k_8 $), il rapporto tra due termini successivi è $ \frac{3k_{n+1}+1-2*1991}{3k_n+1-2*1991}=\frac{3(3k_n+3)+1-2*1991}{3k_n+1-2*1991} $ che tende evidentemente a 3 quando k_n tende all'infinito.
Se non si capisse nulla, cosa probabile, tenterò con il formalismo
Ciao!
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
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