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Definita la funzione $ f: N->N $ come:
$ f(1)=1 $
$ f(n)=f(n-1)-n $ se $ f(n-1)>n $
$ f(n)=f(n-1)+n $ se $ f(n-1)\le n $ $ \forall n \ge 2 $.

Sia $ S= ${$ n \in N t.c. f(n)=1993 $}.

i) Dimostrare che l'insieme S contiene infiniti elementi
ii)Trovare il più piccolo elemento di S
iii)se scriviamo gli elementi di S in ordine crescente come $ n_1<n_2<... $, allora il rapporto $ \frac{n_{i+1}}{n_i} $ tende a 3 quando $ i $ tende a infinito

quest'esercizio lo feci due anni fa(all'epoca non sapevo manco lontanamente cos'era un limite), sono ancora curioso di sapere se ho indovinato la risposta..

Butto alle ortiche tutto il formalismo, tanto penso si capiscano le idee che ci sono dietro.
Notiamo questo: se $ k $ è tale che $ f(k)=1 $, allora $ f(k+1)=k+2, f(k+2)=2k+4 $ e $ f(k+1+2j)=k+2-j $, finchè resta positivo, e contemporaneamente $ f(k+2+2j)=2k+4+j $, fino a quando non si incontra un nuovo punto in cui la funziona fa 1 e questo ciclo ricomincia.
Chiamiamo "successione crescente" la serie di valori f(k+2+2j), e "decrescente" quella dei termini f(k+1+2j)

D'altra parte ci vuole poco a vedere quale è il primo punto dopo $ k $ in cui la funzione fa nuovamente 1: è in corrispondenza di quel $ j $ tale che $ k+2-j=1 \Rightarrow j=k+1 \Rightarrow f(k+2+2(k+1))=f(3k+3)=1 $.
D'altra parte la successione decrescente parte da $ f(k+1) $ (dove k rappresenta stavolta il generico intero per cui la funzione da 1) e quella crescente parte da $ f(k+2) $, per cui ha il suo massimo in $ 3k+5 $ (questo è solo un conticino, di vedere per quanto la funzione continua a salire prima che la serie discendente arrivi a 1).

Per la relazione trovata fra i punti in cui la funzione fa 1 abbiamo $ k_1=1, k_2=6, k_3=21, k_4=66, $$ k_5=201, k_6=606, k_7=1821, k_8=5466, ... $.

E' evidente che per i k successivi la discendente parte da $ f(k_n+1)>f(k_8+1)=5468 $, un valore che è maggiore di 1993 e dunque, dato che tocca tutti gli interi fino a 1, tocca anche 1993: ciò prova che in S ci sono infiniti elementi
Per quel che riguarda il minimo, notiamo che 1821 è troppo piccolo per riuscire a toccare 1993 nella serie discendente, e troppo grosso per toccarlo nella serie ascendente (che parte infatti da 3646). 5466 invece va bene, e facendo due conti (dev'essere $ f(5466+1+2j)=1993 \Rightarrow 5466+2-j=1993 \Rightarrow $$ j=3475 \Rightarrow f(5466+1+2*3475)=1993 \Rightarrow f(12417)=1993 $ ) il minimo di S risulta 12417

Per il rapporto tra gli elementi consecutivi, siccome risulta che $ f(3k+1-2*1991)=1993 $ per ogni k di quelli definiti sopra (e solo per questi; queste ultime affermazioni seguono dagli stessi ragionamenti effettuati sopra considerando il generico k al posto di $ k_8 $), il rapporto tra due termini successivi è $ \frac{3k_{n+1}+1-2*1991}{3k_n+1-2*1991}=\frac{3(3k_n+3)+1-2*1991}{3k_n+1-2*1991} $ che tende evidentemente a 3 quando k_n tende all'infinito.

Se non si capisse nulla, cosa probabile, tenterò con il formalismo

Ciao!

Secondo me la difficoltà di questo problema non sta tanto nell'"intuizione bella", quanto piuttosto nella formalizzazione rigorosa dell'idea che si ha.

Poi magari c'è anche l'intuizione bella eh!

bravo darkrystal, avevo fatto il tuo identico percorso..
@anisama, si, ma metterlo tipo a cesenatico non sarebbero stati molti a farlo..