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Due allineamenti carini

1) Dimostrare che l'ortocentro, il suo coniugato isotomico e il coniugato isotomico del punto di Lemoine (coniugato isogonale del baricentro) sono allineati.

2) Dimostrare che il circocentro, il punto di Lemoine e il coniugato isogonale del coniugato isotomico del punto di Lemoine sono allineati.

3) Dimostrare che il punto di Mittenpunkt (punto di Lemoine del triangolo excentrico), il punto di Lemoine e l'incentro sono allineati.

i..isotomico??

Definizioni

Prese tre ceviane che concorrono in P si definisce coniugato isogonale di P in ABC il punto di concorrenza delle simmetriche di esse rispetto alla rispettiva bisettrice (vedi qui)

Prese tre ceviani concorrenti in P si definisce coniugato isotomico di P in ABC il punto di concorrenza delle ceviane che hanno come piede il simmetrico del piede di esse rispetto al punto medio del lato (vedi qui)

¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ ha scritto:Definizioni

Prese tre ceviane che concorrono in P si definisce coniugato isotomico di P in ABC il punto di concorrenza delle simmetriche di esse rispetto alla rispettiva bisettrice (vedi qui)

Isogonale, l'isotomico è giustamente quello sotto.

Pigkappa ha scritto: Isogonale, l'isotomico è giustamente quello sotto.

LOL scusate...corretto!

¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ ha scritto: che anno

2008

[scusate ma dovevo dirlo ]

ok...siccome nessuno risponde parto dal 3)

Osservando il tutto dal triangolo mediale pare evidente che la tesi equivale a dimostrare che Gergonne, Nagel e il coniugato isotomico dell'ortocentro sono allineati.

Chiamiamo N il punto di Nagel e G quello di Gergonne.
E' risaputo che G e N sono coniugati isotomici, che G' è il centro interno di similitudine tra circocerchio e incerchio e che N' il centro esterno di similitudine tra circocerchio e incerchio. Quindi il circocentro O, l'incentro I, G' e N' stanno sulla stessa retta.

Ora per il Lemma 5 (reperibile qui ) possiamo dire che il coniugato isotomico del coniugato isogonale di O sta su GN. Ma il circocentro O è il coniugato isogonale dell'ortocentro H quindi possiamo concludere che N, G e il coniugato isotomico di H sono allineati che corrisponde alla tesi.
Possiamo inoltre dire che il coniugato isotomico di I sta su GN.
Inoltre è noto che OI è la retta di eulero del triangolo di contatto, e quindi sappiamo anche che il coniugato isotomico del coniugato isogonale del baricentro del triangolo di contatto e l'ortocentro del triangolo di contatto stanno su GN.

1) Osserviamo che il coniugato isotomico del punto di Lemoine è il terzo punto di Brocard e che il terzo punto di brocard è il anticomplementare del punto medio dei primi due punti di brocard. Osserviamo inoltre che il coniugato isotomico del Punto medio di Brocard sta sull' iperbole di Kiepert.

Ora nel triangolo anticomplementare l'ortocentro del triangolo referenzile è il circocentro e il coniugato isotomico dell'ortocentro è il punto di Lemoine.

Quindi la tesi si trasforma nel dimostrare che circocentro, punto di Lemoine e punto medio di Brocard sono allineati.

E' risapunto che l'iperbole di Kiepert passa per ortocentro e baricentro quindi per il rinnomato Lemma 3, che potete reperire qui (e che attende una dimostrazione), abbiamo che il coniugato isogonale ti tale iperbole è una retta su cui giaceranno quindi coniugato isogonale del baricentro, dell' ortocentro e il punto medio di Brocard, tale retta si chiama anche Asse di Brocard.

Può essere inoltre interessante dimostrare che su tale retta ci sta anche centro del cerchio di Taylor che è quel cerchio che vedete in rosso disegnato qui che poi ha centro nel punto di Spieker del triangolo ortico. E' inoltre interessante notare che l'Asse di Brocard è perpendicolare all'Asse di Lemoine che è la perspettrice tra il triangolo referenziale e il triangolo tangenziale.

Ah dimenticavo che poi il 2) equivale a dimostrare che il third power point sta sull'asse di brocard il che è vero poichè il suo coniugato isogonale è il terzo punto di Brocard che sta sull'iperbole di Kiepert.

¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ ha scritto:Ah dimenticavo che poi il 2) equivale a dimostrare che il third power point sta sull'asse di brocard il che è vero poichè il suo coniugato isogonale è il terzo punto di Brocard che sta sull'iperbole di Kiepert.

Elementare, Watson...

Una curiosità personale non inerente al problema:

Che scuola fai Gabriel?
(non sei liceale vero? )

Sono del tutto sbalordito da questi Gergonne, Brocard, e chi più ne ha più ne metta... sono ben lontani i tempi in cui io potevo cercare di risolvere un problema di geometria euclidea (di solito senza riuscirci). Comunque i centri notevoli dei triangoli sono decisamente troppi... Ok, il commento è del tutto OT, mi modero da solo

pi ha scritto:Una curiosità personale non inerente al problema:

Che scuola fai Gabriel?
(non sei liceale vero? )

ehm...mi sa di si invece

Ma a parte Gabriel c'è qualcuno che queste cose le sa e le capisce?

albert_K ha scritto:Ma a parte Gabriel c'è qualcuno che queste cose le sa e le capisce?

A giudicare dal numero di problemi a cui nessuno ha risposto o a cui si è auto-risposto direi che sono in pochi a capirle ste cose...

Mi unisco agli sbalorditi..