SNS 1995/1996 #4

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Sepp
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SNS 1995/1996 #4

Messaggio da Sepp » 30 mag 2007, 15:09

Sia $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ una funzione non negativa, con concavità rivolta verso l'alto, derivabile e tale che $ f'(0) > 0 $ e $ f(x) = f(2 - x) $ per ogni $ x \in \mathbb{R} $.

Dimostrare che $ $$\int^{2}_{0} f(x) dx \leq 2f(1) - \frac{[f(1) - f(0)]^2}{f'(0)}$$. $

Provare che se non è verificata $ f(x) = f(2 - x) $, la diseguaglianza può non valere.

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Re: SNS 1995/1996 #4

Messaggio da FeddyStra » 30 mag 2007, 20:29

Sepp ha scritto:Sia $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ una funzione non negativa, con concavità rivolta verso l'alto, derivabile.
Come può esistere una funzione tale?
Se $ f(x) $ ha la concavità verso l'alto, la funzione giace sotto ogni tangente in ogni suo punto. Consideriamo per esempio la tangente nel punto $ x=0 $: $ g(x)=f(0)+f'(0)\cdot x $. Quando $ x<-\frac{f(0)}{f'(0)} $ si ha che $ g(x)<0 $, ma poichè $ f(x) \le g(x) $, si ottiene $ f(x)<0 $. Questo è in contraddizione col fatto che $ f(x) $ sia non negativa.
Infatti se una funzione è derivabile e ovunque convessa, esiste un punto in cui assume un valore positivo, se è ovunque concava, esiste un punto in cui assume un valore negativo.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
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Messaggio da pic88 » 30 mag 2007, 20:45

@FedyStra: occhio, concavità verso l'alto vuol dire che giace sopra alla tangente... :wink:

Piuttosto, mi suona strano che sia derivabile su tutto R... infatti dalla simmetria dovrebbe essere f'(1)=0, ma f' è crescente e in 0 è positiva..

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Messaggio da FeddyStra » 30 mag 2007, 20:46

pic88 ha scritto:@FeddyStra: occhio, la funzione giace sopra ogni tangente :wink:...

Più che altro, mi sembra strano che la funzione possa essere derivabile su tutto R: dalla simmetria avremmo che f'(1)=0, ma f'(0)>0 e f' è crescente...
Ok. :wink:
Ho trovato testi in cui viene invertito il concetto di concava e convessa...
Allora c'è un altro problema:
da $ f'(0)>0 $ si ricava $ f'(2)<0 $, quindi la derivata decresce. Il che implica che $ f''(0)<0 $ e quindi $ f(x) $ si trova sotto le tangenti...
giusto?
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
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Messaggio da Cammy87 » 30 mag 2007, 20:47

Scusa ma da che cosa deduci che che f'(2)<0?
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Messaggio da FeddyStra » 30 mag 2007, 20:50

Inoltre se $ f(x) $ si trovasse sopra le tangenti (concava o convessa che sia... :wink: ), il problema non avrebbe senso:
infatti $ \int^2_0 f(x)dx $ sarebbe $ >2f(1) $ perchè $ f(1) $ sarebbe un minimo
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Messaggio da FeddyStra » 30 mag 2007, 20:54

Cammy87 ha scritto:Scusa ma da che cosa deduci che che f'(2)<0?
$ f(x)=f(2-x) $
$ \frac {df(x)}{dx}=\frac {df(2-x)}{dx}= $
$ f'(x)=-f'(2-x) $
$ x=0 $
$ f'(0)=-f'(2) $

In sostanza $ f(x) $ è simmetrica rispetto alla retta $ x=1 $.

La condizione $ f(x)=f(2-x) $ può essere trasformata in quella più illuminante $ f(1+x)=f(1-x) $.
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Messaggio da Cammy87 » 30 mag 2007, 21:26

FeddyStra ha scritto: Allora c'è un altro problema:
da $ f'(0)>0 $ si ricava $ f'(2)<0 $, quindi la derivata decresce. Il che implica che $ f''(0)<0 $ e quindi $ f(x) $ si trova sotto le tangenti...
giusto?
Non ne sono sicurissimo, dovrei controllare, ma il fatto che la derivata prima sia decrescente in un punto implica che la derivata seconda sia $ \le{0} $ non < strettamente, cioè:
f' decrescente in x ==> $ f''(x)\le{0} $
E da questo non posso concludere che f sia concava in x.
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Messaggio da FeddyStra » 30 mag 2007, 22:07

Cammy87 ha scritto:
FeddyStra ha scritto: Allora c'è un altro problema:
da $ f'(0)>0 $ si ricava $ f'(2)<0 $, quindi la derivata decresce. Il che implica che $ f''(0)<0 $ e quindi $ f(x) $ si trova sotto le tangenti...
giusto?
Non ne sono sicurissimo, dovrei controllare, ma il fatto che la derivata prima sia decrescente in un punto implica che la derivata seconda sia $ \le{0} $ non < strettamente, cioè:
f' decrescente in x ==> $ f''(x)\le{0} $
E da questo non posso concludere che f sia concava in x.
Implica che esista almeno un punto $ \xi $ in cui $ f''(\xi)<0 $.
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Messaggio da sqrt2 » 30 mag 2007, 23:04

Mi sembrava familiare: già discusso qui

viewtopic.php?t=5938

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Messaggio da FeddyStra » 31 mag 2007, 21:15

fortunatamente non avevo sbagliato.... la non negatività estesa su tutto $ \mathbb R $ è impossibile :)
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
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Messaggio da enomis_costa88 » 18 lug 2007, 17:17

Hum questo l'ho visto ieri a casa di giove, l'avevamo già chiamato il più brutto testo mai visto ma poi una volta risolto è davvero figo :D

Comunque noi l'abbiamo supposta da [0,2] a R+

L'ipotesi vuole dire che f è simmetrica rispetto a x=1.
Essendo simmetrica e concava x=1 è massimo.
Il LHS è l'area sottesa alla funzione.

Considero la tangente in 0 a f.

Se essa stesse sotto la funzione in anche solo un punto x_o>0 allora la retta R che passa per 0,f(0) e x_o,f(x_o) stà sopra la tangente in 0 a f.
Quindi il suo coefficente angolare è maggiore di f'(0).
Per il teorema del valor medio esisterebbe un punto c tra 0 e x_o tale che la derivata di f calcolata in c sia il coefficente angolare di R.
Quindi f'(c)>f'(0) assurdo in quanto f è concava e la derivata prima è decrescente.
Quindi la funzione stà tutta sotto la retta tangente in 0.

Considero ora il RHS e provo ad interpretarlo.
Esso è costituito dal rettangolone (0;0) (2,0) (0,f(0)) (2,f(2))
a cui tolgo qualcosa..ma cosa?!??

Dopo avere smanettato per un un paio di minuti e visto qualche caso particolare vedo che è l'area dei triangolini formati dalla retta tangente in 0 (e in 2) con il rettangolone.

Infatti:
l'altezza è f(1)-f(0)=a
La tangente in 0 interseca x=1 in f'(0)+f(0)
Chiamato c=f'(0) la base del triangolino è x.
Per una stupida similitudine tra triangoli trovo che:
$ a(1-x)=x(c-a) $
ovvero $ x= \frac{a}{c} $
La somma delle aree di quei due triangolini vale quindi:
$ \frac{(f(1)-f(0))^2}{f'(0)} $

A questo punto possiamo ricapitolare e chiudere ;)
Prendiamo il rettangolone e togliamo i due triangolini agli angoli, la funzione per quanto dimostrato starà nell'area rimasta (sotto le tangenti in 0 e per simmetria in 2 e sotto f(1) che è il massimo) e la disuguaglinza è verificata.

Lascio poi a voi il trovare un contro esempio senza quella ipotesi :wink:

PS: io l'avrei messo in geometria però!
"Tu che lo vendi cosa ti compri di migliore?"

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Membro dell'EATO.

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