OliForum Matematico

Utilizzerò un risultato elementare, per ogni intero n>1 se p è un primo che divide 2^{2^n} + 1 allora p = 1 \mod 2^{n + 2} .

Posto a = 2^{2^{n-1}} se esistesse un primo q e un intero m>1 tali che a^2+1 = q^m allora per un intero r avremmo q - 1 = 2^r e \frac{q^m-1}{q-1}=2^{2^n - r} del resto \frac ...

Fissata una base intera b>1 dico che m è sinistro di n se per qualche k \in N^+ e h < b^k si ha n=mb^k+h . Dimostrare che per ogni insieme A di interi tra loro non sinistri si ha

\sum_{a \in A} \frac{1}{a} \leq 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{b-1}

buona fortuna! :wink:

Oramai l'hanno ...

Fissata una base intera $ b>1 $ dico che $ m $ è sinistro di $ n $ se per qualche $ k \in N^+ $ e $ h < b^k $ si ha $ n=mb^k+h $. Dimostrare che per ogni insieme $ A $ di interi tra loro non sinistri si ha

$ \sum_{a \in A} \frac{1}{a} \leq 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{b-1} $

buona fortuna!

A volte capita qualche povero fessacchiotto che vuole provare da solo a risolvere un problema, invece di utilizzare internet.

Il mio intervento è a favore di quei fessacchiotti, postando problemi di cui non è facile trovare la soluzione nel web si impedisce a essi, anche solo per errore, di non ...

edriv ha scritto:La dimostrazione è semplice ma simpatica.

Questo problema non richiede molto impegno, con qualsiasi motore di ricerca si trova in 2 secondi http://it.wikipedia.org/wiki/Lemma_di_Gauss.

Richiedere la dimostrazione di teoremi così conosciuti non sembra molto sensato...

Sia \omega(n) il numero dei fattori primi distinti di n , per n\in\mathbb{N} . Dimostrare che esistono infiniti n\in\mathbb{N} tali che \omega(1+n!) > 1 .

Per assurdo, supponiamo che definitivamente \omega(1+n!) = 1 . Allora preso un primo p sufficientemente grande abbiamo per il teorema di ...

Questo non è banale:

Si dimostri che se n>3 allora è sempre possibile trovare due interi dispari x,y tali che 2^n=7x^2+y^2

è un problema molto bello, che posi io stesso in questo forum parecchio tempo fa...

la mia soluzione http://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=10780

chi è ...

no aspettate.. semmai dovrei dire 3^n = k * (5^n-2) con k giustamente intero... e si dovrebbe tornare sempre li....

Essendo esponenziale, con n sempre più grandi la moltiplicazione per k e il - 2 dovrebbero diventare insignificanti e venir fuori una eguaglianza del genere: 3^n = 5^n che ...

Definiamo la successione $ \{y_n\}_{n \in N} $ tramite la ricorrenza

$ y_0=1 $

$ y_n=y_{n-1}^2+1 $

sia inoltre $ C $ una costante tale che

$ C=\prod_{j=0}^\infty {\frac{y_{j+1}}{y_j^2} }^{2^{-j-1}} $

dimostrare che

$ y_n=[C^{2^n}] $

dove $ [x] $ indica la parte intera inferiore di $ x $.

Determinare il massimo intero k \ge 0 per cui esiste un numero naturale n > 0 tale che il prodotto delle cifre non nulle nella rappresentazione decimale di n+i divide n+i, per ogni i = 0, 1, ..., k.

Sia f(n) il prodotto di tutte le cifre non nulle di n .

Se la cifra delle unità di n è 9 e f(n)|n ...

Un triangolo è chimato eroniano se ogni suo lato è di lunghezza intera e la sua area è espressa da un intero. Un triangolo è chimato pitagorico se è rettangolo e ogni suo lato è di lunghezza intera.
(a) Dimostrare che ogni triangolo pitagorico è eroniano.
(b) Dimostrare che ogni intero dispari ...

In effetti mi rendo conto che il seguente risultato possa sembrare uscire dal nulla...

\displaystyle
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}\binom{2k}{k}^{-1}=\left.2\left(\arctan\sqrt{\frac{t}{4t-1}}\right)^2\right|_{t=1}=\frac{\pi^2}{18}

Ma mi piace tantissimo la soluzione con la funzione Beta! :D ...

Hmm allora : (vaghi ricordi) dovrebbe essere
B(m,n)=\displaystyle{\int_0^1t^{m-1}(1-t)^{n-1}dt=\frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}}
Ora, \Gamma(m)=(m-1)! e dunque
\displaystyle{B(n+1,n+1)=\frac{n!\cdot n!}{(2n + 1)!}={2n\choose n}^{-1}\frac{1}{2n+1}} .
Quindi non è solo un problema di indici ...

HiTLeuLeR ha scritto:Provare che la congettura di Goldbach è vera sse, per ogni intero n > 1, esistono primi $ p, q \in \mathbb{N} $ tali che $ \phi(p) + \phi(q) = 2n $.

A proposito... se non erro Erdos dimostrò che l'equazione $ \phi(x)+\phi(y)=2n $ ha soluzione per ogni $ n $ con $ x,y $ interi non necessariamente primi.

blackdie ha scritto:Da dove viene questa uguaglianza?xke a me non sembra corretta.

Confondo sempre gli indici... ora non ho tempo di correggere tutto anche perchè in latex non so come inserire le lettere greche maiuscole, qui un problema simile.