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Facciamo direttamente il terzo esercizio, senza supporre veri i primi due, che sono ovvi...

Proposizione. Sia f un omomorfismo di gruppi G\rightarrow K e sia M\lhd G . Allora la funzione g: G/M\rightarrow f(G)/f(M) tale che [a]\longmapsto [f(a)] e' un omomorfismo suriettivo.

Prova. Ovviamente f(M ...

uhm... ma ti sono chiari i teoremi di Sylow?

Per i suddetti teoremi $ $n_7=\frac{|G|}{|N_G(P)|}$ $, e dunque e' chiaro che i nostri argomenti sono uguali e che il punto c) e' immediato...

a) Falso, a meno che non intendi che $H$ abbia ordine $p^n$ . In questo caso, H è contenuto in un $p$ -sottogruppo di Sylow $A$ . Poiché per ogni altro $p$ -sottogruppo di Sylow $B$ abbiamo che esiste $g\in G$ tale che $B=gAg^{-1}$ , allora $H=gHg^{-1}\subseteq B$ .

c) Abbiamo $168=2^3*3*7$ e ...

Oppure si può dare questa formula. Indicando con $ $Q(n)$ $ il numero dei quadrati perfetti modulo n, abbiamo

$ $Q(n)=\frac{\phi(n)}{2^{\alpha}}$ $

per un oppurtuno $ $\alpha$ $che non ho voglia di calcolare