OliForum Matematico

Si dimostri che dati comunque n interi positivi a_1,.....,a_n
è sempre possibile sceglierne alcuni (eventualmente tutti od uno
solo) in modo che la loro somma sia divisibile per n.

Hai ragione edriv!!!
In quel modo non si va da nessuna parte, mi ero convinto
di potere usare in modo fruttuoso quel risultato sulle famiglie non numerabili.
Che pirla!
In tutti i casi, sfrutto quella proprietà degli elementi della successione
di essere ciascuno punto limite per poterne incastrare ...

Provo a spiegare evitando di formalizzare il ragionamento.
Posso incastrare la successione (almeno una parte 'consistente' di essa) dentro un
insieme A limitato mantenendo la proprietà enunciata nell'ipotesi.
Ora, due estratte che convergono a due limiti diversi hanno al più un numero
finito di ...

$ $x=4 y=2^{25}$\\ $x=100 \hspace{2mm} y=10$ $

Mancano alcune coppie.....

Prove that among the numbers of the form 50^n +(50n+1)^50,
where n is a natural number,
there exist infinitely many composite numbers.

$ \text{Find all pairs of positive integers}\hspace{2mm}\\$x,y$\\ \text{satisfying the equation}\\ $y^x = x^{50}.$ $

Scrivi il seguente polinomio come prodotto di polinomi irriducibili in Z[X]:
f(X) = X^2005-2005X+2004.

Si dimostri l’esistenza, sull’insieme N dei numeri naturali, di
una famiglia infinita non numerabile di sottoinsiemi Ci
tali che Ci ∩ Cj abbia cardinalità finita per ogni i diverso j.

(i) Given any positive integer n, show that there are distinct positive integers
a, b such that a + k divides b + k for k = 1, 2, ... , n.
(ii) If a, b are positive integers such that a + k divides b + k for all positive integers k, show that a = b.

\begin{document}
Sia \ \ $ f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ una funzione tale che:

$1) f(-x)=-f(x)$, $\forall x \in \mathbb R$,

$2) f(x+1)=f(x)+1$, $\forall x \in \mathbb R$,

$3) f(\frac{1}{x})=\frac{f(x)}{x^2}$ $\forall x \in \mathbb R$, $x
\neq 0$.

Si provi che $f(x)=x$, $\forall x \in ...