Cavie bianconere

[Iuppiter]

Una cavia maschio col pelo nero ha genotipo Nb (nel 50% dei casi) o NN(nel 50% dei casi), dove il nero N è il carattere dominante e b è quello recessivo. Supponendo di far accoppiare il maschio con una femmina bianca bb, quanti figli dobbiamo far nascere per avere una probabilità maggiore del 95% che la cavia maschio sia del tipo Nb?

Questo problema è stato posto oggi in classe. Io non ve lo chiedo per sapere come si fa, qual è il risultato, ecc, ma per sapere le vostre opinioni poiché a me è venuto un risultato diverso da tutta la classe (e tra l'altro potrebbe essere benissimo un quesito olimpico).

PS: non ci sono cavie bianconere a macchie, ma solo o bianche o nere.

[Tibor Gallai]

Non c'è da stupirsi se avete soluzioni diverse, perché il problema è mal posto... Dovresti almeno specificare la sequenza dei fenotipi dei figli, o definire uno spazio di probabilità in qualche modo.

Immaginando che i figli siano tutti bianchi (altrimenti non dò un senso al problema), dopo $ ~\displaystyle n $ figli la probabilità che il padre abbia genotipo NN è $ ~\displaystyle \frac 1 {2^n+1} $, e questa è minore del 5% per $ ~\displaystyle n\geq 5 $.

[Iuppiter]

Scusate, ho sbagliato la richiesta.
Al posto di "Supponendo di far accoppiare il maschio con una femmina bianca bb, quanti figli dobbiamo far nascere per avere una probabilità maggiore del 95% che la cavia maschio sia del tipo Nb? " volevo dire "Se nasce un figlio nero, quanti figli neri devono nascere perchè ci sia una probabilità maggiore del 95% che il maschio abbia genotipo NN?"
Scusate

@Tibor Gallai: in che senso dovrei specificare la sequenza dei fenotipi dei figli?

Io ho fatto questo ragionamento: applicando il teorema di Bayes viene che $ p(NN/Nb)=2/3 $
Poi elevo questo risultato alla n(numero dei figli che devono nascere) e lo impongo minore di 0,05.
Svolgendo i calcoli mi viene n=8.

[Tibor Gallai]

Ora non è più chiaro il genotipo della madre!!! Supponiamo che sia sempre bb... Diciamo che, aiutandomi anche con la soluzione che hai tentato dopo, sono riuscito finalmente a capire cosa chiede il problema.
Del resto, ho sempre sostenuto che, al liceo, discutere di matematica equivale a discutere di lingua italiana ed interpretazione di testi, poiché un problema da liceo fa discutere solo se è mal posto (ma non viceversa, perché non sempre si ha abbastanza spirito critico da accorgersi che un problema è mal posto).
E con questo, penso di aver risposto alla richiesta che fai nel primo post (le nostre opinioni sul problema).

Andando leggermente OT, posso entrare nel merito della soluzione, e dirti dov'è che sbagli.

Poi elevo questo risultato alla n(numero dei figli che devono nascere) e lo impongo minore di 0,05.

L'errore che fai è proprio qui, e secondo me nasconde un duplice errore: perché elevi alla n, e perché lo poni minore di 0,05 ? Prova a dimostrarne una delle due, e vedrai che non regge.

[Iuppiter]

Lo elevo alla n perchè ogni volta che nasce un figlio nero ho la probabilità di 2/3 che il padre sia NN. E lo pongo < 0,05 perchè... eh in effetti non so perchè. Comunque adesso credo di aver capito il tuo ragionamento di sopra. Grazie

[Tibor Gallai]

Non so se faccio bene a chiedertelo: come l'ha risolto il resto della classe?

[Iuppiter]

Mi sembra più o meno come tu hai fatto sopra...solo che i figli non erano bianchi ma neri.