Mostrare che se "tocca" l'asse x, allora ha 3 radici razionali.
Nb. Con "tocca" intendo che il grafico scende(risp.sale) almeno subito prima di A, in A fa zero, e subito dopo A comincia a salire (risp.scendere)..
polinomio di terzo grado (ibero american)
polinomio di terzo grado (ibero american)
Sia dato un polinomio $ p(x) \in\mathbb{Q}[x] $ di terzo grado.
Mostrare che se "tocca" l'asse x, allora ha 3 radici razionali.
Nb. Con "tocca" intendo che il grafico scende(risp.sale) almeno subito prima di A, in A fa zero, e subito dopo A comincia a salire (risp.scendere)..
Mostrare che se "tocca" l'asse x, allora ha 3 radici razionali.
Nb. Con "tocca" intendo che il grafico scende(risp.sale) almeno subito prima di A, in A fa zero, e subito dopo A comincia a salire (risp.scendere)..
The only goal of science is the honor of the human spirit.
wlog p(x) è monico
$ $p(x)=x^3+ax^2+bx+c=(x-A)^2(x-B) $
inoltre A è soluzione di p'(x) (perchè la funzione p(x) ha un massimo/minimo in quel punto), quindi è una radice algebrica di secondo grado, ossia della forma m+r, con m razionale e r radice quadrata di un razionale.
considerando che $ $-a=2A+B $ ho che anche B è della forma n+s, con n razionale e s radice quadrata di un razionale.
Allora avremo
$ $2r+s=0 $, poichè $ $-a=2A+B $ è razionale e inoltre
$ $-c=(m+r)^2(n+s) $ deve essere razionale
Svolgendo i conti e sostiutuendo $ $s=-2r $ otteniamo:
$ $m^2n+r^2n+2mnr-2m^2r-2r^3-4mr^2 $ razionale
ma $ $r^2 $ è razionale quindi
$ $2mnr-2m^2r-2r^3 $ razionale
$ $r(2mn-2m^2-2r^2) $ razionale, ma l'espressione in parentesi è razionale quindi r dovrebbe essere razionale.
Da cui p(X) ha tre radici razionali, di cui due coincidenti.
$ $p(x)=x^3+ax^2+bx+c=(x-A)^2(x-B) $
inoltre A è soluzione di p'(x) (perchè la funzione p(x) ha un massimo/minimo in quel punto), quindi è una radice algebrica di secondo grado, ossia della forma m+r, con m razionale e r radice quadrata di un razionale.
considerando che $ $-a=2A+B $ ho che anche B è della forma n+s, con n razionale e s radice quadrata di un razionale.
Allora avremo
$ $2r+s=0 $, poichè $ $-a=2A+B $ è razionale e inoltre
$ $-c=(m+r)^2(n+s) $ deve essere razionale
Svolgendo i conti e sostiutuendo $ $s=-2r $ otteniamo:
$ $m^2n+r^2n+2mnr-2m^2r-2r^3-4mr^2 $ razionale
ma $ $r^2 $ è razionale quindi
$ $2mnr-2m^2r-2r^3 $ razionale
$ $r(2mn-2m^2-2r^2) $ razionale, ma l'espressione in parentesi è razionale quindi r dovrebbe essere razionale.
Da cui p(X) ha tre radici razionali, di cui due coincidenti.
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federiko97
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- Iscritto il: 03 nov 2008, 20:36
- Località: Roma
Un'altro approccio:
supponiamo che p sia irriducibile in $ \mathbb{Q}[x] $ Allora p(x) è coprimo con p'(x), assurdo perché p ha una radice doppia. Quindi p si scompone nei razionali da cui segue abbastanza facilmente la tesi.
supponiamo che p sia irriducibile in $ \mathbb{Q}[x] $ Allora p(x) è coprimo con p'(x), assurdo perché p ha una radice doppia. Quindi p si scompone nei razionali da cui segue abbastanza facilmente la tesi.
Io credo che alcune entità superiori, pur non avendo odore, possano esistere. Esse influenzano le nostre vite in maniera che nessuno scienziato può comprendere.
