Alur propongo un problema che potrebbe sembrare di analisi ma non lo è ;)
È olimpico a tutti gli effetti quindi provateci (ci sono riuscito io senza analisi ;) )
Sia dato un polinomio a coefficienti reali
$ P(x)=ax^2+bx+c $
Dato un punto sul piano cartesiano definito dalle coordinate (m,n) trovare la pendenza k della tangente alla curva p(x) passante per quel punto.
Ovviamente dato che P(x) ha deg=2: le soluzioni sono 2 se il punto è esterno, se il punto giace sulla curva allora 1, se all'interno 0 ;)
Divertitevi xD
Derivare senza derivate (own)
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La curva$ \gamma $ ha equazione $ y = ax^2+bx+c $ e il punto ha coordinate $ P(m,n) $.
Una generica retta $ r $ che passi per $ P $ ha equazione:
$ y - n = k(x - m) $ dove $ k $ è la pendenza.
Mettiamo a sistema la retta $ r $ con la curva $ \gamma $
$ \begin{cases} y = ax^2+bx+c \\ y - n = k(x - m) \end{cases} $
Per confronto otteniamo $ ax^2+bx+c = kx-km+n $ che diventa $ ax^2+bx-kx+c+km-n= 0 \Rightarrow ax^2+(b-k)x + (c+km-n) = 0 $
Perchè la retta sia tangente deve essere $ \Delta = 0 \Rightarrow (b-k)^2 - 4a(c+km-n) = 0 $ che risolto in $ k $ fornisce:
$ k = \pm 2\sqrt{a^2m^2+abm+ac-an} + 2am+b $
Una generica retta $ r $ che passi per $ P $ ha equazione:
$ y - n = k(x - m) $ dove $ k $ è la pendenza.
Mettiamo a sistema la retta $ r $ con la curva $ \gamma $
$ \begin{cases} y = ax^2+bx+c \\ y - n = k(x - m) \end{cases} $
Per confronto otteniamo $ ax^2+bx+c = kx-km+n $ che diventa $ ax^2+bx-kx+c+km-n= 0 \Rightarrow ax^2+(b-k)x + (c+km-n) = 0 $
Perchè la retta sia tangente deve essere $ \Delta = 0 \Rightarrow (b-k)^2 - 4a(c+km-n) = 0 $ che risolto in $ k $ fornisce:
$ k = \pm 2\sqrt{a^2m^2+abm+ac-an} + 2am+b $
E' un classico problema da liceo. Di quelli che a prenderlo a cannonate ti fai solo male.
Fatto realmente con le derivate penso che ti impantani e basta
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impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]
Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php
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Giusto per rendere l'idea lo risolvo con le derivate (prima o poi qualcuno mi dovrà spiegare perchè queste sono bandite dal forum =P).
La retta che cerchiamo è l'intersezione di due fasci, uno passante per (m,n) e uno per il generico punto (k,ak^2+bk+c) da cui metto a sistema
y-n=M(x-m)
y-ak^2-bk-c=M(x-k)
Sottraendo membro a membro
ak^2+bk+c-n=Mk-Mm
Ma M è la pendenza nel punto (k,ak^2+bk+c), che è 2ak+b, sostituisco quindi:
ak^2+bk+c-n=(2ak+b)k-(2ak+b)m
-ak^2+2amk+c+bm-n=0
k=(1/a)(am+sqrt(a^2m^2+ac+abm-an)) V k=(1/a)(am-sqrt(a^2m^2+ac+abm-an))
ma M=2ak+b, quindi
M=2am+b+2sqrt(a^2m^2+ac+abm-an) V M=2am+b-2sqrt(a^2m^2+ac+abm-an)
lol è più contorto in effetti, ma si generalizza con più facilità a curve qualsiasi, per le quali il discorso del discriminante non penso valga più.
La retta che cerchiamo è l'intersezione di due fasci, uno passante per (m,n) e uno per il generico punto (k,ak^2+bk+c) da cui metto a sistema
y-n=M(x-m)
y-ak^2-bk-c=M(x-k)
Sottraendo membro a membro
ak^2+bk+c-n=Mk-Mm
Ma M è la pendenza nel punto (k,ak^2+bk+c), che è 2ak+b, sostituisco quindi:
ak^2+bk+c-n=(2ak+b)k-(2ak+b)m
-ak^2+2amk+c+bm-n=0
k=(1/a)(am+sqrt(a^2m^2+ac+abm-an)) V k=(1/a)(am-sqrt(a^2m^2+ac+abm-an))
ma M=2ak+b, quindi
M=2am+b+2sqrt(a^2m^2+ac+abm-an) V M=2am+b-2sqrt(a^2m^2+ac+abm-an)
lol è più contorto in effetti, ma si generalizza con più facilità a curve qualsiasi, per le quali il discorso del discriminante non penso valga più.
Aboliamo il latino nei licei scientifici!
Sì, è un classico problema di liceo, con il vantaggio di essere trattato in modo più generale... quanto meno io non l'ho mai fatto con tutti 'sti parametri.
se potessi dimostrare che la tua morte avverrà tra 3 min, bhe ne sarei profondamente rammaricato ma il il piacere della dimostrazione prenderà il posto del dispiacere della tua morte :P