Derivare senza derivate (own)

[dario2994]

Alur propongo un problema che potrebbe sembrare di analisi ma non lo è ;)
È olimpico a tutti gli effetti quindi provateci (ci sono riuscito io senza analisi ;) )
Sia dato un polinomio a coefficienti reali
$ P(x)=ax^2+bx+c $
Dato un punto sul piano cartesiano definito dalle coordinate (m,n) trovare la pendenza k della tangente alla curva p(x) passante per quel punto.
Ovviamente dato che P(x) ha deg=2: le soluzioni sono 2 se il punto è esterno, se il punto giace sulla curva allora 1, se all'interno 0 ;)
Divertitevi xD

[GioacchinoA]

La curva$ \gamma $ ha equazione $ y = ax^2+bx+c $ e il punto ha coordinate $ P(m,n) $.
Una generica retta $ r $ che passi per $ P $ ha equazione:
$ y - n = k(x - m) $ dove $ k $ è la pendenza.
Mettiamo a sistema la retta $ r $ con la curva $ \gamma $
$ \begin{cases} y = ax^2+bx+c \\ y - n = k(x - m) \end{cases} $
Per confronto otteniamo $ ax^2+bx+c = kx-km+n $ che diventa $ ax^2+bx-kx+c+km-n= 0 \Rightarrow ax^2+(b-k)x + (c+km-n) = 0 $
Perchè la retta sia tangente deve essere $ \Delta = 0 \Rightarrow (b-k)^2 - 4a(c+km-n) = 0 $ che risolto in $ k $ fornisce:
$ k = \pm 2\sqrt{a^2m^2+abm+ac-an} + 2am+b $

[dario2994]

Perfetto ;)

[WiZaRd]

A me questo sembra un problema di liceo.

[dario2994]

potrebbe anche essere ma per chi (sono di primo) non ha ancora studiato nulla di tutto ciò puo facilmente un interessante problema olimpico ;)
Non so se veramente sia un problema da liceo e se così fosse mi scuso... ma l'idea mi è venuta parlandone con Veluca, un altro utente del forum ;)

[SkZ]

E' un classico problema da liceo. Di quelli che a prenderlo a cannonate ti fai solo male.
Fatto realmente con le derivate penso che ti impantani e basta

[Giulius]

Giusto per rendere l'idea lo risolvo con le derivate (prima o poi qualcuno mi dovrà spiegare perchè queste sono bandite dal forum =P).
La retta che cerchiamo è l'intersezione di due fasci, uno passante per (m,n) e uno per il generico punto (k,ak^2+bk+c) da cui metto a sistema
y-n=M(x-m)
y-ak^2-bk-c=M(x-k)
Sottraendo membro a membro
ak^2+bk+c-n=Mk-Mm
Ma M è la pendenza nel punto (k,ak^2+bk+c), che è 2ak+b, sostituisco quindi:
ak^2+bk+c-n=(2ak+b)k-(2ak+b)m
-ak^2+2amk+c+bm-n=0
k=(1/a)(am+sqrt(a^2m^2+ac+abm-an)) V k=(1/a)(am-sqrt(a^2m^2+ac+abm-an))
ma M=2ak+b, quindi
M=2am+b+2sqrt(a^2m^2+ac+abm-an) V M=2am+b-2sqrt(a^2m^2+ac+abm-an)
lol è più contorto in effetti, ma si generalizza con più facilità a curve qualsiasi, per le quali il discorso del discriminante non penso valga più.

[tecnoleo]

Sì, è un classico problema di liceo, con il vantaggio di essere trattato in modo più generale... quanto meno io non l'ho mai fatto con tutti 'sti parametri.