a,b,c>=0
a,b,c>=0
Siano $ a,b,c\ge0 $; dimostrare che $ a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2(ab+bc+ca) $.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
Posto $ $P=abc $ $ $Q=ab+bc+ca $ e $ $S=a+b+c $ ho che la disuguaglianza diventa $ $S^2-4Q+2P+1\ge0 $. Il LHS, essendo monotono in $ $P $, per il lemma abc ha minimo quando due variabili sono uguali, quindi pongo wlog $ $a=b $.
$ $2a^2+c^2+2a^2c+1\ge4ac+2a^2 $
$ $2a^2c-4ac+c^2+1\ge0 $
Se c=0, 1>0. Se c>0
$ $2a^2-4a+c+\frac{1}{c}\ge0 $
La prima parte $ $2a^2-4a $ è una parabola con minimo -2, quindi resta da dimostrare
$ $c+\frac{1}{c}\ge2 $
$ $(c-1)^2\ge0 $
$ $2a^2+c^2+2a^2c+1\ge4ac+2a^2 $
$ $2a^2c-4ac+c^2+1\ge0 $
Se c=0, 1>0. Se c>0
$ $2a^2-4a+c+\frac{1}{c}\ge0 $
La prima parte $ $2a^2-4a $ è una parabola con minimo -2, quindi resta da dimostrare
$ $c+\frac{1}{c}\ge2 $
$ $(c-1)^2\ge0 $
Ultima modifica di julio14 il 28 lug 2009, 12:06, modificato 3 volte in totale.
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Tibor Gallai
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Ad occhio e croce, dal video di algebra del WC09: data un espressione simmetrica in a,b,c, se la sua formulazione in termini di P,Q,S (come sopra) (sostituzione che è sempre possibile fare per nelle simmetriche) è monotona in P, allora assume massimo e minimo quando due variabili sono uguali. Uh, lì lo chiama metodo abc, ma a me è rimasto in mente lemma non so perché 
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Tibor Gallai
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Complimenti: hai trovato la fonte da cui l'ho tratto!Tibor Gallai ha scritto:Problema 2.6
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
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Scusa se mi intrometto, ma nell'ipotesi hai $ a,b,c \geq 0 $. Quindi prima di dividere per $ c $, come mi sembra tu faccia, devi escludere (o meglio: trattare a parte) il caso che si annulli, giusto? Ci vuole proprio poco a sistemare la cosa, ma credo che a rigore sia un passaggio necessario.julio14 ha scritto:[...]
$ $2a^2c-4ac+c^2+1\ge0 $
$ $2a^2-4a+c+\frac{1}{c}\ge0 $[...]
...
ok sistemato.