consideriamo la seguente affermazione "per ogni coppia di interi x e y si ha che 37 x+13 è multiplo di 45 se e solo se ax+2008y è multiplo di 45"
determinare per quale valore di a l'affermazione è vera tra:
-182
-187
-192
-194
-197
mutipli di 45
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GioacchinoA
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L'esercizio dovrebbe essere
"Per ogni coppia di interi $ x $ e $ y $ , se $ 37x+13y $ è multiplo di $ 45 $, allora $ ax+2008y $ è multiplo di $ 45 $. Trova il valore di $ a $."
$ 37x+13y \equiv 0 \pmod {45} \Leftrightarrow x \equiv -\dfrac{13}{37}y \pmod{45} $.
A questo punto trovi l'inverso di $ 37 $ modulo $ 45 $ che esiste poichè $ (37,45)=1 $. Con il solito metodo trovi che l'inverso vale $ -17 $.
Quindi $ x \equiv -\dfrac{13}{37}y \equiv -13 \cdot -17 y \equiv 221y \equiv -4y \pmod{45} $
Ora moltiplichiamo entrambi i membri per $ 502 $ ottenendo che $ 502x + 2008y \equiv 0 \pmod{45} $. Notiamo che tutti i passsaggi che abbiamo fatto sono invertibili , quindi siamo arrivati alla conclusione che i valori di $ a $ che ci stanno bene sono tutti quelli tali che $ a \equiv 502 \equiv 7 \pmod{45} $ e in questo caso $ a=187 $ è l'unico valore che va bene.
"Per ogni coppia di interi $ x $ e $ y $ , se $ 37x+13y $ è multiplo di $ 45 $, allora $ ax+2008y $ è multiplo di $ 45 $. Trova il valore di $ a $."
$ 37x+13y \equiv 0 \pmod {45} \Leftrightarrow x \equiv -\dfrac{13}{37}y \pmod{45} $.
A questo punto trovi l'inverso di $ 37 $ modulo $ 45 $ che esiste poichè $ (37,45)=1 $. Con il solito metodo trovi che l'inverso vale $ -17 $.
Quindi $ x \equiv -\dfrac{13}{37}y \equiv -13 \cdot -17 y \equiv 221y \equiv -4y \pmod{45} $
Ora moltiplichiamo entrambi i membri per $ 502 $ ottenendo che $ 502x + 2008y \equiv 0 \pmod{45} $. Notiamo che tutti i passsaggi che abbiamo fatto sono invertibili , quindi siamo arrivati alla conclusione che i valori di $ a $ che ci stanno bene sono tutti quelli tali che $ a \equiv 502 \equiv 7 \pmod{45} $ e in questo caso $ a=187 $ è l'unico valore che va bene.
secondo me diventa più semplice ragionando modulo 5 e modulo 9 separatamente e poi fare il controllo diretto oppure usare il teorema cinese del resto e trovare la soluzione modulo 45
PS: provi anche tu a fare il test iniziale del senior dell'anno passato eh? Io di TdN ho trovato bello il 3
PS: provi anche tu a fare il test iniziale del senior dell'anno passato eh? Io di TdN ho trovato bello il 3
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
,cioè che ragionamento fa.allora ecco il perchè:
abbiamo che $ 37x+13y\equiv 0\pmod {9} $,quindi $ x+4y\equiv 0 \pmod{9} $, dalla seconda invece abbiamo che $ ax+y\equiv 0 \pmod{9} $. Moltiplicando per 4 e sostituendo dalla precedente abbiamo che deve valere $ 4ax-x\equiv 0 \pmod{9} $ per ogni x, ovvero deve essere $ 4a\equiv 1\pmod{9} $, da cui $ a\equiv 7 \pmod{9} $
abbiamo che $ 37x+13y\equiv 0\pmod {9} $,quindi $ x+4y\equiv 0 \pmod{9} $, dalla seconda invece abbiamo che $ ax+y\equiv 0 \pmod{9} $. Moltiplicando per 4 e sostituendo dalla precedente abbiamo che deve valere $ 4ax-x\equiv 0 \pmod{9} $ per ogni x, ovvero deve essere $ 4a\equiv 1\pmod{9} $, da cui $ a\equiv 7 \pmod{9} $
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Re: mutipli di 45
Ci manca una y al testoNoemi91x ha scritto:consideriamo la seguente affermazione "per ogni coppia di interi x e y si ha che 37 x+13 è multiplo di 45 se e solo se ax+2008y è multiplo di 45"
determinare per quale valore di a l'affermazione è vera tra:
-182
-187
-192
-194
-197
In Z/3Z si ha 13y=2008y per cui anche 37x=ax cioè a=1. Ciò è sufficiente a concludere a=187.
The only goal of science is the honor of the human spirit.