IMO4 1983

[julio14]

È possibile colorare il perimetro di un triangolo equilatero con due colori in modo che non ci sia nessun triangolo rettangolo con i vertici dello stesso colore?

[karlosson_sul_tetto]

Il triangolo deve avere tutti i tre vertici e due lati sul perimetro?
Al massimo ci puo essere due vertici dello stesso colore?

[julio14]

Il testo mi pareva chiaro...
I tre vertici certo che sono sul perimetro, altrimenti non sono colorati. È colorato solo il perimetro. Se vuoi puoi prendere in considerazione anche altri triangoli, ma non è molto utile se tutti e tre i vertici non sono colorati...
Riguardo ai lati, il testo non parla di restrizioni simili. Il triangolo può essere come vuoi, basta che abbia tre vertici dello stesso colore e sia rettangolo. Se tale triangolo esiste in ogni configurazione, allora la risposta al problema è no, se esistono colorazioni senza neanche un triangolo di quel tipo, allora la risposta è si.

[karlosson_sul_tetto]

Boh,a occhio direi:

che se i colori sono rosso e verde allora un lato deve essere completamente rosso,contando i verici,l'altra parte del perimetro interamente verde.

[julio14]

È facile trovare un triangolo rettangolo tutto verde nella tua configurazione

puoi anche non scrivere in bianco

[karlosson_sul_tetto]

È facile trovare un triangolo rettangolo tutto verde nella tua configurazione

me lo potresti indicare?Grazie.

[julio14]

Siano A e B i vertici rossi, C quello verde, M il punto medio di AC e H la proiezione di M su BC. MHC è verde

[karlosson_sul_tetto]

Ah, grazie! Perche è di solito a quest'ora che dico cavolate...

[dario2994]

Alur... ho una soluzione alquanto bislacca xD Ma provo
Dimostro che è impossibile.
Chiamo f(A) l'intersezione tra la perpendicolare al lato su cui giace A passante per A e un lato del triangolo (il primo che incontra).
Se A ed f(A) hanno lo stesso colore allora ovviamente il lato di a dovrà essere tutto del colore opposto ad A (altrimenti formerei un triangolo rettangolo con un lato sul lato del triangolo iniziale), e gli altri dello stesso colore di A (perchè f(B) con B sul lato di A deve avere un colore diverso da B... altrimenti si crea un triangolo rettangolo come prima). Ma da questo segue la tesi... basterebbe formare un triangolo rettangolo solo sui lati dello stesso colore.
Ora dimostro che esiste un punto A tale che f(A) ha lo stesso colore di A.
Chiamo i vertici del triangolo originale MNK. Considero A su MN con AM=2AN... Ma allora Af(a)f(f(a)) forma un triangolo equilatero, e ogni vertice e ottenibile come f(K) con k un altro vertice... perciò ogni vertice deve avere un colore differente dagli altri 2, assurdo dato che ho solo 2 colori... perciò esiste un vertice tale che X e f(X) hanno lo stesso colore... che si riconduce al caso precedente. (Tutta quest'ultima parte geometrica non la dimostro perchè tanto è abbastanza ovvia... se sono riuscito a farla io che in geometria sono una pippa lo è di sicuro xD)

Mi scuso per l'impossibilità nel capire quello che ho scritto ma questa è la tipica dimostrazione da fare coi disegnini... che sono difficilotti sul forum xD

[julio14]

Era la mia stessa soluzione
Comunque, una volta detto quale era il triangolo preso in considerazione, potevi concludere con la parola magica "pigeonhole"

[dario2994]

Si beh anche quello è vero ma tanto non era complicato spiegarlo... dato erano solo 3 i vertici xD

Comunque davvero un bel problema... e poi l'ho trovato più tosto dell'IMO 1 di quest'anno... e contando che è di 25 anni fa è strano.

[sprmnt21]

È possibile colorare il perimetro di un triangolo equilatero con due colori in modo che non ci sia nessun triangolo rettangolo con i vertici dello stesso colore?

viewtopic.php?t=2833&highlight=


http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... hp?t=17270