Problema similitudini

[Dani92]

Geometria piana... Vorrei sapere come si dimostra che il rapporto delle aree di 2 figura simili è uguale al quadrato del rapporto delle lunghezze corrispondenti...

Grazie a chi mi risponderà

[karlosson_sul_tetto]

Bah,non so se questo si può definire una dimostrazione ...:
Prendiamo $ 1 $ quadrato e suddividiamolo in 9 quadretti uguali;possaimo prendere 4 di questi quadretti che formano un quadrato;presupponiamo che il lato di un quadretto corrispode a $ 1cm $:abiamo un quadrato di area $ 9cm^2 $ e uno più piccolo di $ 4cm^2 $ quadri;allora abbiamo:
$ \frac{4}{9}=(\frac{2}{3})^2 $
Spero di essere stato chiaro.

[SARLANGA]

@karlosson : non mi convince tanto...non mi sembra una "dimostrazione" degna di essere chiamata tale e soprattutto è limitata alla figura del quadrato.
Detto questo, cmq, non ho idea su come migliorarla e generalizzarla

EDIT: ricordati sempre di inserire il LaTeX nelle formule!

[karlosson_sul_tetto]

@karlosson : non mi convince tanto...non mi sembra una "dimostrazione" degna di essere chiamata tale e soprattutto è limitata alla figura del quadrato.
Detto questo, cmq, non ho idea su come migliorarla e generalizzarla

EDIT: ricordati sempre di inserire il LaTeX nelle formule!

cavolo,mi son dimenticato di mettere il LaTeX!
Cmq intendevo:
Se il rapporto tra i lati di due quadrati è per esempio $ \frac{4}{9} $allora la loro area sarà di rapporto $ \frac{1}{4} $,allora possiamo dedurre che $ (\frac{4}{9})^2=\frac{1}{4} $
Per qyella parte di limitazioni al quadrato possiamo immaginare che lo allunghiamo,muoviamo i suoi angoli,ne agiungiamo altri ma la cosa(cosa) sarà sempre la stessa;spero di essere stato chiaro e di aver chiarito a Dani92 le idee.

[SkZ]

1) vale per 2 triangoli e la loro base se e solo se vale per i parallelepipedo ottenuti raddoppiando tali triangoli (tringolo+triangolo simmetrico rispetto al punto medio di uno dei 2 lati)
2) vale per 2 parallelepipedi e le loro basi se e solo se vale per i rettangoli dotati di medesima base e loro base
3) banale

[Tibor Gallai]

Sì, penso che l'argomento di Euclide fosse molto simile a quello di SkZ...

[SkZ]

Devo sentirmi io onorato
o Euclide insultato?

[Dani92]

Si ma non ho dubbi che funzioni, quello che cercavo era una dimostrazione generale...

fino al quadrato è banale ma l'ho trovato utilizzata per gli esagoni regolari e generalizzato per ogni figura... quindi mi piacerebbe sapere se e come si dimostra... se qualcuno ha idee si faccia avanti!!

[SkZ]

qualunque figura regolare si puo' porre: $ ~A=kl^2 $

dimostrare che data una qualunque figura di forma $ ~\sigma $ in cui si puo' definire una lunghezza caratteristica $ ~l $, allora $ $A=k_\sigma l^2 $
non e' cosi' banale
almeno credo a occhio

[exodd]

per i poligono convessi, basta:
prendere due poligoni convessi simili
ruotarli opportunamente, in modo da fargli assumere il medesimo orientamento
porre il poligono di area minore dentro quello di area maggiore
collegare i vertici corrispondenti, i segmenti concorreranno (per Desargues?)
abbiamo quindi scomposto i due poligoni in triangoli simili, di cui sappiamo che la relazione tra aree e lati è quadratrica..

non so se si può fare anche per induzione, considerando sempre un poligono scomposto in triangoli...

[Dani92]

Mi pare una buona dimostrazione, grazie mille!:)

Sapresti anche indicarmi un metodo per dimostrare Desargues? Dopo ci provo comunque...

Grazie ancora per il disturbo!

[Tibor Gallai]

Mi pare una buona dimostrazione, grazie mille!:)

Perdonatemi se come al solito faccio il guastafeste, ma a me sembra pessima!!

Che definizione date di similitudine? Per me una similitudine è una funzione che moltiplica tutte le distanze di un fattore fissato. Da qui, uno può per esempio dimostrare che ogni similitudine è una composizione di un'omotetia, una rotazione e una traslazione, e conclude banalmente in bellezza.

Ma prendere 2 poligoni convessi e fare tutte le cose che ha fatto exodd è barare: non si può assumere che che i poligoni possano essere messi "uno dentro l'altro" (perché mai, poi? e perché limitarsi ai convessi? boh), che uno abbia area maggiore e l'altro area minore è da dimostrare, che i collegamenti dei vertici concorrano è tutto da dimostrare, etc. E per usare Desargues bisogna sapere che i lati corrispondenti sono paralleli, il che (ancora...) è tutto da dimostrare. Inoltre, per usare Desargues bisognerebbe avere la creanza di sincerarsi che la sua dimostrazione non usi a sua volta la proprietà della similitudine che stiamo andando a dimostrare, altrimenti la cosa si morderebbe la coda... Poiché Desargues viene concettualmente molto dopo le proprietà delle similitudini, è un problema che bisogna porsi. Ma a prescindere da ciò, usare un cannone fotonico come Desargues per dimostrare il fatterello delle similitudini è una caduta di stile non da poco.

[Dani92]

Per me una similitudine è una funzione che moltiplica tutte le distanze di un fattore fissato. Da qui, uno può per esempio dimostrare che ogni similitudine è una composizione di un'omotetia, una rotazione e una traslazione, e conclude banalmente in bellezza.

Anche questa mi pare una buona dimostrazione

...fare tutte le cose che ha fatto exodd è barare: non si può assumere che che i poligoni possano essere messi "uno dentro l'altro" (perché mai, poi? e perché limitarsi ai convessi? boh), che uno abbia area maggiore e l'altro area minore è da dimostrare, che i collegamenti dei vertici concorrano è tutto da dimostrare, etc. E per usare Desargues bisogna sapere che i lati corrispondenti sono paralleli, il che (ancora...) è tutto da dimostrare. Inoltre, per usare Desargues bisognerebbe avere la creanza di sincerarsi che la sua dimostrazione non usi a sua volta la proprietà della similitudine che stiamo andando a dimostrare, altrimenti la cosa si morderebbe la coda... Poiché Desargues viene concettualmente molto dopo le proprietà delle similitudini, è un problema che bisogna porsi.

I primi dubbi mi sembrano un po polemici: un poligono dentro ad un'altro ci può stare sicuramente, ovvio che il caso particolare di similitudine con rapporto 1 è banale e non da dimostrare... Almeno a mio modo di vedere!

Per la seconda parte non posso darti torto, non conosco Desargues quindi potresti tranquillamente avere ragione... Ho dato troppe cose per scontate...

[Tibor Gallai]

I primi dubbi mi sembrano un po polemici: un poligono dentro ad un'altro ci può stare sicuramente, ovvio che il caso particolare di similitudine con rapporto 1 è banale e non da dimostrare... Almeno a mio modo di vedere!

Non parlavo di similitudine di rapporto 1... E' ovvio che quella è polemica.

Dico che 2 poligoni simili sono 2 poligoni tali che uno è immagine dell'altro tramite una funzione che moltiplica le distanze di un fattore fissato. E' così banale che 2 poligoni simili possano essere messi "uno dentro l'altro"? Per me è tanto banale quanto la tesi sulle aree, e non è polemica...
Al di là di questo, averli uno dentro l'altro non serve in effetti a nulla per la dimostrazione, ma resta il fatto che invece vogliamo almeno che i lati corrispondenti siano paralleli, o che le congiungenti i vertici corrispondenti concorrano, o altre cose tutte da dimostrare.

[Dani92]

Beh che i lati possano essere paralleli lo hai già "dimostrato" definendo la similitudine Se quello che cambia son solo le misure dei lati, chiaramente gli angoli restano uguali. Allora mettendo (rotaz/traslaz) un lato della figura f1 (dentro f2) parallelo a uno di quella f2 abbiamo che sicuramente saranno paralleli anche i 2 lati consecutivi al primo, e questo lo possiamo ripetere per ogni lato...

Che le congiungenti concorrano invece lo accettavo per Desargues ma come hai giustamente fatto notare tu non conosco la dimostrazione del teorema e nemmeno l'enunciato preciso... Quindi chino il capo a chiedo scusa...

Tu me lo sai spiegare? O conosci qlk sito dove posso andare a vederlo?