Problema 4.
Dati $ a,b,c $ reali positivi, mostrare che $ \displaystyle a+b+c \leq \frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}+\frac{ab}{a+b} +\frac{1}{2}\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right) $
(Darij Grinberg)
Problema 4, oliforum contest 2009, round 2
Problema 4, oliforum contest 2009, round 2
The only goal of science is the honor of the human spirit.
La disuguaglianza è omogenea quindi posso porre abc=1. Ora tralascio tutti gli inutili calcoli e passo direttamente alla parte saliente. Infatti alla fine ottengo di dover dimostrare che $ $\displaystyle\sum_{cyc}a^4b^3+\sum_{cyc}a^3b^4\ge\sum_{cyc}a^3b+\sum_{cyc}ab^3$ $. Riscrivo la precedente (ed in particolare riscrivo l'LHS) come:
$ \displaystyle\sum_{cyc}(\frac 2 3a^4b^3+\frac 1 3a^4c^3)+\sum_{cyc}(\frac 2 3a^3b^4+\frac 1 3b^4c^3)\ge \sum_{cyc}a^3b+\sum_{cyc}ab^3 $
Applico ora AM-GM alle 2 somme cicliche (ricordando che abc=1):
$ $\displaystyle\sum_{cyc}(\frac{a^4b^3+a^4b^3+a^4c^3}3)\ge\sum_{cyc}\sqrt[3]{a^{12}b^6c^3}=\sum_{cyc}\sqrt[3]{a^9b^3}=\sum_{cyc}a^3b$ $
$ $\displaystyle\sum_{cyc}(\frac{a^3b^4+a^3b^4+b^4c^3}3)\ge\sum_{cyc}\sqrt[3]{a^6b^{12}c^3}=\sum_{cyc}\sqrt[3]{a^3b^9}=\sum_{cyc}ab^3$ $
Sommo membro a membro le 2 disuguaglianze precedenti e ho la tesi
$ \displaystyle\sum_{cyc}(\frac 2 3a^4b^3+\frac 1 3a^4c^3)+\sum_{cyc}(\frac 2 3a^3b^4+\frac 1 3b^4c^3)\ge \sum_{cyc}a^3b+\sum_{cyc}ab^3 $
Applico ora AM-GM alle 2 somme cicliche (ricordando che abc=1):
$ $\displaystyle\sum_{cyc}(\frac{a^4b^3+a^4b^3+a^4c^3}3)\ge\sum_{cyc}\sqrt[3]{a^{12}b^6c^3}=\sum_{cyc}\sqrt[3]{a^9b^3}=\sum_{cyc}a^3b$ $
$ $\displaystyle\sum_{cyc}(\frac{a^3b^4+a^3b^4+b^4c^3}3)\ge\sum_{cyc}\sqrt[3]{a^6b^{12}c^3}=\sum_{cyc}\sqrt[3]{a^3b^9}=\sum_{cyc}ab^3$ $
Sommo membro a membro le 2 disuguaglianze precedenti e ho la tesi
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Io ricordando quanto ci hanno insegnato al senior, ho svolto tutti i calcoli arrivando a:
$ \displaystyle \sum_{sym}a^4b^3c^0\ge \sum_{sym}a^4b^2c $
Che è vera per bunching
$ \displaystyle \sum_{sym}a^4b^3c^0\ge \sum_{sym}a^4b^2c $
Che è vera per bunching
Ultima modifica di dario2994 il 18 ott 2009, 21:15, modificato 1 volta in totale.
dai però vi hanno rovinato con questo bunching...ora ogni disuguaglianza che salta fuori dite "è vera per bunching" 
non che sia sbagliato però in effetti non è nello spirito delle olimpiadi la mera applicazione di una tecnica, e difficilmente in una gara vera può capitare che qualcosa sia banalmente vero per bunching. Per cui incito i giovani del forum a cercare altre strade (che ci sono sempre), invece di limitarsi ad applicare il bunching. Ok, fine della filippica
non che sia sbagliato però in effetti non è nello spirito delle olimpiadi la mera applicazione di una tecnica, e difficilmente in una gara vera può capitare che qualcosa sia banalmente vero per bunching. Per cui incito i giovani del forum a cercare altre strade (che ci sono sempre), invece di limitarsi ad applicare il bunching. Ok, fine della filippica
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Vuole intendere (giustamente) che il bunching è tutto tranne che elegante xDDani92 ha scritto:Cosa significa? :oops:Maioc92 ha scritto:dai però vi hanno rovinato con questo bunching...
Generalmente quando si vuole risolvere col bunching tocca fare una maremma di calcoli e non bisogna applicarsi per avere delle idee.
Dice "vi hanno rovinato" perchè in una lezione dello stage senior ce l'hanno spiegato ;)
p.s. ormai spiego post d'altri... sono ridotto male xD
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exodd
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come me..dario2994 ha scritto:Io ricordando quanto ci hanno insegnato al senior, ho svolto tutti i calcoli arrivando a:
$ \displaystyle \sum_{sym}a^4b^3c^0\ge \sum_{sym}a^4b^2c $
Che è vera per bunching
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
Sono anni che non provo piu' queste cose, ma, se non ho combinato pasticci con le espressioni, ho trasformato la dis. data in una del tipo:mod_2 ha scritto:Se jordan mi confermasse che non ho scritto cavolate nella dimostrazione (cosa molto probabile visto che non avevo neanche controllato), posterei volentieri la mia che utilizza riarrangiamento, Chebycheff e Nesbitt.
(a+b+c)/3 >= (aA+bB+cC)/(A+B+C) con A < B < C se c < b < a.
Postala in ogni caso no? Ancora non ne controllo nessuna io..mod_2 ha scritto:Se jordan mi confermasse che non ho scritto cavolate nella dimostrazione (cosa molto probabile visto che non avevo neanche controllato), posterei volentieri la mia che utilizza riarrangiamento, Chebycheff e Nesbitt.
Entro stasera comunque spero di postare tutte le soluzioni originali
Edit: lho controllata, anche se non hai giustificato perchè Chebyschevè applicabile (e qualche errore di copiatura) il resto dovrebbe andare
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Giuseppe M.
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- Iscritto il: 19 ott 2009, 17:46
Ciao a tutti. Posto la mia soluzione, anche se non ho partecipato al contest, perchè neoiscritto.
$ $X=(bc)/(b+c) +(ca)/(c+a) +(ab)/(a+b) >= (b^2 +c^2)/(2(b+c)) +(c^2 +a^2)/(2(c+a)) +(a^2 +b^2)/(2(a+b))=1/2 [b+c- (2bc)/(b+c) +c+a- (2ca)/(c+a) +a+b- (2ab)/(a+b)$ $
$ $2X>=a+b+c$ $
Poi ho dimostrato che
$ $1/2 ((bc)/a +(ca)/b +(ab)/c) >=(a+b+c)/2$ $
ponendo $ $a<=b<=c$ $, che si può fare perchè la disequazione è simmetrica in a, b e c (si dice così?), e usando la disuguaglianza di riarrangiamento.
$ $X=(bc)/(b+c) +(ca)/(c+a) +(ab)/(a+b) >= (b^2 +c^2)/(2(b+c)) +(c^2 +a^2)/(2(c+a)) +(a^2 +b^2)/(2(a+b))=1/2 [b+c- (2bc)/(b+c) +c+a- (2ca)/(c+a) +a+b- (2ab)/(a+b)$ $
$ $2X>=a+b+c$ $
Poi ho dimostrato che
$ $1/2 ((bc)/a +(ca)/b +(ab)/c) >=(a+b+c)/2$ $
ponendo $ $a<=b<=c$ $, che si può fare perchè la disequazione è simmetrica in a, b e c (si dice così?), e usando la disuguaglianza di riarrangiamento.
non ho capito questo passaggio, ma comunque credo sia sbagliato perchè hai dimostrato una cosa falsa. Prova a porre ad esempio a=9 e b=c=1/3Giuseppe M. ha scritto:Ciao a tutti. Posto la mia soluzione, anche se non ho partecipato al contest, perchè neoiscritto.
$ $X=(bc)/(b+c) +(ca)/(c+a) +(ab)/(a+b) >= (b^2 +c^2)/(2(b+c)) +(c^2 +a^2)/(2(c+a)) +(a^2 +b^2)/(2(a+b)) $
.....
$ $2X>=a+b+c$ $
P.S:benvenuto!!!
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Grazie dario, però io chiedevo proprio in cosa consiste il bunching...dario2994 ha scritto:Vuole intendere (giustamente) che il bunching è tutto tranne che elegante xDDani92 ha scritto:Cosa significa?Maioc92 ha scritto:dai però vi hanno rovinato con questo bunching...
Generalmente quando si vuole risolvere col bunching tocca fare una maremma di calcoli e non bisogna applicarsi per avere delle idee.
Dice "vi hanno rovinato" perchè in una lezione dello stage senior ce l'hanno spiegato
p.s. ormai spiego post d'altri... sono ridotto male xD
