trovare tutte le coppie di primi (p,q) che soddisfino le seguenti relazioni:
p|5^q+1 e q|5^p+1.
posto questo problema perchè io penso di averlo risolto, ma la soluzione che c'è sul libro delle olimpiadi 1995-2001 è diversa e non la capisco e inoltre nn menziona due soluzioni ke io ho trovato...
q|5^p+1 e p|5^q+1
q|5^p+1 e p|5^q+1
Ultima modifica di gibo92 il 28 dic 2009, 11:47, modificato 1 volta in totale.
Correggi il testo ;)
C'è un +1 nella prima divisibilità
p.s. posto solo le mie soluzioni per lasciare a qualcun altro il problema (nel caso nessuno lo facesse domani piazzo la soluzione):
(2,2);(2,13);(13,2);(3,3);(3,7);(7,3)
C'è un +1 nella prima divisibilità
p.s. posto solo le mie soluzioni per lasciare a qualcun altro il problema (nel caso nessuno lo facesse domani piazzo la soluzione):
(2,2);(2,13);(13,2);(3,3);(3,7);(7,3)
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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Re: q|5^p+1 e p|5^q+1
gibo92 ha scritto:trovare tutte le coppie di primi (p,q) che soddisfino le seguenti relazioni:
p|5^q+1 e q|5^p+1.
posto questo problema perchè io penso di averlo risolto, ma la soluzione che c'è sul libro delle olimpiadi 1995-2001 è diversa e non la capisco e inoltre nn menziona due soluzioni ke io ho trovato...
Di fianco a ogni TUO messaggio c'è l'opzione "Modifica" (in alto a destra di fianco a "Riporta"):se clicchi lì comparirà il contenuto del messaggio che vuoi correggere. Dopo aver fatto la modifica clicca su "Invia" e il messaggio nuovo comparirà al posto di quello vecchiogibo92 ha scritto:nn so come fare a modificare il testo iniziale...
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Maledetti fisici! (cit.)
Maledetti fisici! (cit.)
hai ragione, quando dovevo modificarlo nn ero loggato e quindi non compariva XDspugna ha scritto:Di fianco a ogni TUO messaggio c'è l'opzione "Modifica" (in alto a destra di fianco a "Riporta"):se clicchi lì comparirà il contenuto del messaggio che vuoi correggere. Dopo aver fatto la modifica clicca su "Invia" e il messaggio nuovo comparirà al posto di quello vecchiogibo92 ha scritto:nn so come fare a modificare il testo iniziale...
scusate, ma sono troppo impaziente di sapere se la mia soluzione è giusta dato ke ho letto qualche giorno fa la parte sugli ordini moltiplicativi delle schede olimpiche e non so ancora bene come si usino... x ki vuole tentare di risolvere il problema quindi nn leggete qua sotto:
se p=2 allora dividerà sempre 5^q+1 dato che è una somma di due numeri dispari, quindi si cerca quando q|5^2+1=26 da cui si ricavano le soluzioni (2,2); (2,13); (13,2) (da ora si considerano p e q primi maggiori di 2).
se p=3 e q>2 esso è dispari, si può quindi effettuare la fattorizzazione 3|5^q+1=(5+1)( 5^(q-1)-…+1)=6(5^(q-1)-…+1). La divisibilità è verificata per ogni q dato che 3|6, si cerca quindi quando q|5^3+1=126=2x3x3x7 da cui q=3,7 da cui si trovano le soluzioni (3,3); (3,7); (7,3), inoltre è facile notare che per p=5 non esiste un q che verifichi la divisibilità.
per p,q>5 si cercano i valori che soddisfino la congruenza 5^q=-1(mod p) detto ordp(5)/2= k si ha che q=k(2n-1) con n>0 intero. Per ogni p>5 è chiaro che k>1 da cui si osserva che il fattore (2n-1) deve essere uguale a 1 altrimenti q sarebbe costituito da due fattori maggiori di 1. Da questo si deduce q=k, è inoltre nota la relazione ordp(5)|(p-1) da cui q|(p-1), facendo lo stesso ragionamento considerando la relazione opposta q|5^p+1 si ottiene p|(q-1). Da queste ultime due relazioni si ricava che q≤p-1 e p≤q-1 da cui q≤p≤q-1 che è ovviamente impossibile. Le uniche possibili coppie (p,q) che soddisfano le condizioni del problema sono quindi (2,2); (2,13); (13,2); (3,3); (3,7); (7,3).
Rispondetemi al più presto. Grazie.
se p=2 allora dividerà sempre 5^q+1 dato che è una somma di due numeri dispari, quindi si cerca quando q|5^2+1=26 da cui si ricavano le soluzioni (2,2); (2,13); (13,2) (da ora si considerano p e q primi maggiori di 2).
se p=3 e q>2 esso è dispari, si può quindi effettuare la fattorizzazione 3|5^q+1=(5+1)( 5^(q-1)-…+1)=6(5^(q-1)-…+1). La divisibilità è verificata per ogni q dato che 3|6, si cerca quindi quando q|5^3+1=126=2x3x3x7 da cui q=3,7 da cui si trovano le soluzioni (3,3); (3,7); (7,3), inoltre è facile notare che per p=5 non esiste un q che verifichi la divisibilità.
per p,q>5 si cercano i valori che soddisfino la congruenza 5^q=-1(mod p) detto ordp(5)/2= k si ha che q=k(2n-1) con n>0 intero. Per ogni p>5 è chiaro che k>1 da cui si osserva che il fattore (2n-1) deve essere uguale a 1 altrimenti q sarebbe costituito da due fattori maggiori di 1. Da questo si deduce q=k, è inoltre nota la relazione ordp(5)|(p-1) da cui q|(p-1), facendo lo stesso ragionamento considerando la relazione opposta q|5^p+1 si ottiene p|(q-1). Da queste ultime due relazioni si ricava che q≤p-1 e p≤q-1 da cui q≤p≤q-1 che è ovviamente impossibile. Le uniche possibili coppie (p,q) che soddisfano le condizioni del problema sono quindi (2,2); (2,13); (13,2); (3,3); (3,7); (7,3).
Rispondetemi al più presto. Grazie.