1. Siano $ $ X_n $ $ convergenti a.s. (quasi certamente) a $ $ X $ $ e sia $ $ Y $ $ = sup$ $_n |X_n - X| $ $.
(a) Dimostrare che $ $ Y $ $ < $ $ \+inf $ $ a.s.
(b) Si definisca una nuova misura di probabilità $ $ Q $ $ come segue:
$ $ Q(A) = \frac{1}{c} * E( 1_A * \frac{1}{1+Y} ) $ $
dove $ $ c = E( \frac{1}{1+Y} ) $ $ e con $ $ 1_A $ $ si denota la funzione indicatrice di $ $ A $ $.
Dimostrare che $ $ X_n $ $ tende a $ $ X $ $ in $ $ L^1 $ $ rispetto alla misura $ $ Q $ $.
2. Sia $ $ X_n $ $ una successione di v.a. tali che $ $ X_n $ $ ~ $ $ U(0, \frac{1}{n}) $ $. Studiare la convergenza quasi certa, in probabilità e in $ $ L^p $ $ a $ $ 0 $ $ della successione ($ $ n^a X_n $ $) al variare di $ $ a $ $ in R.
3. Sia $ $ X_n $ $ una successione di v.a. tali che $ $ X_n $ $ ~ $ $ exp(n) $ $. Studiare la convergenza quasi certa, in probabilità e in $ $ L^p $ $ a $ $ 0 $ $ della successione $ $ Y_n $ $ con $ $ Y_n = (\frac{n}{log(n)} X_n) $ $
