polinomi ciclotomici

[danielf]

guardando vecchi post ho letto questa cosa per risolvere un problema di algebra delle provinciali,trovando l'argomento praticamente sconosciuto:

$ ~x^{16}+x = x(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)(x^2-x+1)(x^8+x^7-x^5-x^4-x^3+x^2+1) $

Ok, e chi ci dice che quegli ultimi 3 polinomi siano irriducibili? Le risposte multiple arrivano fino a 5, ma noi siamo come S. Tommaso. Purtroppo qui il bagaglio olimpico standard si ferma..

Bah, manco tanto..
Lemma. Sia $ \phi_n(x) $ l'n-esimo polinomio ciclotomico: se n è primo allora $ \phi_n(x) $ è irriducibile (segue direttamente da Eisenstein considerando $ \phi(x+1) $).
1. $ x^2-x+1=\phi_3(-x) $ è irriducibile.
2. $ x^4-x^3+x^2-x+1)=\phi_5(-x) $ è irriducibile.
3. $ x^8+x^7-x^5-x^4-x^3+x^2+1 $ ha come radici $ \{-\epsilon_{15},-\epsilon_{15}^2,-\epsilon_{15}^4,-\epsilon_{15}^7\} $ e relativi coniugati; se ha fattori allora essi hanno grado pari: se un fattore ha grado 2 allora $ |2Re(\epsilon_{15}^i)|=1 $ con $ i \in \{1,2,4,7\} $, impossibile; allora si scomporrà in due polinomi (irriducibili) di quarto grado entrambi monici con lo stesso termini noto di modulo unitario, che è impossibile (facile da verificare a mano).

la prima domanda è:che cos'è un polinomio ciclotomico?

[SkZ]

viewtopic.php?t=14170
In matematica, l'n-esimo polinomio ciclotomico è il polinomio monico formato dalle radici n-esime primitive dell'unità

[danielf]

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In matematica, l'n-esimo polinomio ciclotomico è il polinomio monico formato dalle radici n-esime primitive dell'unità

e perchè è irriducibile se è primo?
e perchè scrive quelle uguaglianze al punto 1-2?

[EvaristeG]

Wikipedia inglese è tua amica
e prima che domandi cos'è Eisenstein, sappi che è proprio linkato in questo articolo quando si parla dell'irriducibilità dei polinomi ciclotomici di grado primo.

NB: tutti i polinomi ciclotomici sono irriducibili sui razionali (da una parte, per definizione, i polinomi ciclotomici sono i fattori irriducibili su Q dei polinomi X^n-1).