Quando bunching diretto non funziona

[ghilu]

Siano $ \sum \ bla $ le somme simmetriche.
Si dimostri, per ogni $ (a,b,c) \in \mathbb{R}^3 $:
$ \sum a^4b^2+ 2\sum a^3b^2c \geq \sum a^4bc + \sum a^3b^3 + \sum a^2b^2c^2 $.
Esistono soluzioni di lunghezza variabile (pantagrueliche, ma anche lillipuziane).

[Fabio91]

bah, dopo aver sbagliato già una volta i conti questa volta la tesi dovrebbe veramente essere equivalente a
$ (a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b))^2 \geq 0 $

[Maioc92]

probabilmente è la stessa di fabio (anzi, è sicuramente uguale ma meno elegante), ma forse è appena un po' meno calata dall'alto, nel senso che fa uso di 1 passaggio in più:
Riscrivo come
$ \displaystyle LHS=(a^2b+b^2c+ac^2)^2+(ab^2+bc^2+a^2c)^2\ge RHS $
Ora uso AM-GM e ottengo che
$ \displaystyle LHS\ge 2|(a^2b+b^2c+ac^2)(ab^2+bc^2+a^2c)|=|\sum_{sym}a^3b^3+\sum_{sym}a^4bc+\sum_{sym}a^2b^2c^2| $, che è la tesi.

L'ho postata solo per mia (piccola) soddisfazione personale, perchè è una delle poche volte che mi viene una disuguaglianza

[ghilu]

Molto bene! Ora posto la mia:
porto tutto all'LHS e trovo
$ \Pi_{cyc} (a-b)^2 $.
Che fornisce direttamente anche i casi di uguaglianza.

[fph]

porto tutto all'LHS e trovo
$ \Pi_{cyc} (a-b)^2 $.

Uh? Temo che tu ti sia perso qualche esponente per strada.
Comunque noto che proporvi la "vasc inequality" al Winter è stato fruttuoso...

[ghilu]

Esponente? Dove? Sesto grado... funziona...non capisco...

[fph]

Ok, no, sono io che non so più leggere. Sorry

[ghilu]

Ti capisco. Io non so scrivere..

[Simo_the_wolf]

Uh ma che bello... ultimamente un sacco di revival!!!

viewtopic.php?t=5640&highlight=

ps posto i link vecchi perchè magari c'è qualche spunto interessante ancora non sorto