Somma di potenze è una potenza 2^a+3^b=5^c (OWN)

[dario2994]

È OWN ma probabilmente è gia passato da questo forum.

Trovare tutti gli a,b,c interi non negativi tali che:
$ $ 2^a+3^b=5^c $

p.s. questo è aperto a tutti... anche jordan riacquisisce i diritti di utente comune che gli avevo negato in alcuni thread xD

[jordan]

Eh, mi hai citato espressamente per cui non posso astenermi
(Vedi qui, thread attivo giusto nella settimana della tua iscrizione).

Trovare tutti gli $ (a_1,a_2,a_3) \in \mathbb{N}^3 $ tali che $ 2^{a_1}+3^{a_2}=5^{a_3} $.

1. Modulo 2 otteniamo $ a_1>0 $.
2. Se $ a_1=1 $ allora $ a_2>0 $: se $ a_2>1 $ allora modulo 9 $ a_5 \equiv 5 \pmod 6 \equiv 1 \pmod 2 $ e modulo 7 $ 2|a_3 $ assurdo, da cui la soluzione $ (1,1,1) $.
3. Modulo 4 otteniamo $ 2|a_2 $.
4. Modulo 5 otteniamo $ 2|a_1 $.
5. Modulo 8 se $ a_1=2 $ otteniamo $ 2 \nmid a_3 $, da cui modulo 3 $ a_2=0 $ e la soluzione $ (a_1,a_2,a_3)=(2,0,1) $.
6. Modulo 8 se $ a_1>2 $ otteniamo $ 2|a_3 $, da cui esistono $ (m,n) \in \mathbb{N}^2 $ t.c. $ (m,n)=1, 2mn=2^{a_1/2}, m^2-n^2=3^{a_2/2}, m^2+n^2=5^{a_3/2} $ da cui $ (4,2,2) $.

Ricordo che questo è ancora aperto:

Own. Siano $ \displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^n{p_ix^i} \in \mathbb{N}[x] $ e $ \displaystyle Q(x)=\sum_{j=0}^m{q_jx^j} \in \mathbb{N}[x] $ due polinomi tali che $ p_n,q_m>0 $.

Consideriamo l'equazione: $ \displaystyle 5^{P(a)}|2^{Q(a)}+3^{Q(a)} $. (*)

Mostrare che se esistono infiniti $ a \in \mathbb{N} $ che soddisfano la (*) allora $ n=0 $.

[dario2994]

Yep, giusto :)
La mia è praticamente uguale solo che per il caso $ $a_1=1 $ ho usato mod 13 e non mod 7.