p(2009)

[danielf]

sia p(x) un polinomio a coefficienti interi tale che p(2009)=2009.determinare il massimo numero di soluzioni intere distinte che può avere l'equazione:
p(x)=2000

[Dani92]

Io voto 6:

Definisco $ q(x)=p(x)-2009 $
quindi $ q(2009)=0 $ perciò $ q(x)=(x-2009)r(x) $

Ora scrivo p(x) -> $ p(x)=(x-2009)r(x)+2009 $

Ora unisco con l'ipotesi: $ (x-2009)r(x)+2009=2000 $
Da cui $ (x-2009)r(x)=-9 $
Le soluzioni possibili allora sono $ x=2018,2000,2010,2008,2012,2006 $

[Spammowarrior]

secondo me non è detto che r(x) abbia i valori giusti per le x che hai postato...

[Dani92]

Eh in effetti non saprei trovare una forma polinomiale per $ r(x)=\frac{-9}{x-2009} $... Bene, un'altra pagliacciata serale che si aggiunge alla lista...

[Spammowarrior]

Eh in effetti non saprei trovare una forma polinomiale per $ r(x)=\frac{-9}{x-2009} $... Bene, un'altra pagliacciata serale che si aggiunge alla lista...

no, ma va, l'inizio è sicuramente giusto...
c'è da trovare però quanti di quei sei valori possono essere valori dello stesso polinomio.

[Gogo Livorno]

Eh in effetti non saprei trovare una forma polinomiale per $ r(x)=\frac{-9}{x-2009} $... Bene, un'altra pagliacciata serale che si aggiunge alla lista...

no, ma va, l'inizio è sicuramente giusto...
c'è da trovare però quanti di quei sei valori possono essere valori dello stesso polinomio.

e come?

[Jessica92]

e come?

Conosci un certo "Teorema cinese del resto"?

Il resto del procedimento è ok

[Spammowarrior]

Eh in effetti non saprei trovare una forma polinomiale per $ r(x)=\frac{-9}{x-2009} $... Bene, un'altra pagliacciata serale che si aggiunge alla lista...

no, ma va, l'inizio è sicuramente giusto...
c'è da trovare però quanti di quei sei valori possono essere valori dello stesso polinomio.

e come?

restava sottointeso che se lo avessi saputo lo avrei detto

conosco il teorema cinese del resto, ma non mi viene in mente come usarlo qui (non lo conosco così bene, giusto l'enunciato)
ci penso su.

[Dani92]

Neanch'io capisco come usare il teorema cinese... Un hint?

[EvaristeG]

Un polinomio p(x) vale 1 in 1 se e solo se dà resto 1 quando è diviso per x-1, ovvero se e solo se è congruo a 1 modulo x-1 ...

[Dani92]

Boh non ci riesco ancora..

Se $ p(n)=n $ allora $ p(x)=(x-n)r(x)+n $

Da questo ho che $ p(x) \equiv n (mod |x-n|) $ (che credo sia l'hint no?)

in particolare nel nostro caso n=2009 quindi

$ p(x) \equiv 2009 (mod |x-2009|) $ ma i valori di |x-2009| sono solo, con le x trovate: 1,3,9

Poi faccio il sistemone a 6 ma non riesco a usare il t cinese comunque... Non capisco cosa non capisco...

[EvaristeG]

No, la faccenda è questa: puoi fare le congruenze tra polinomi.

$ p(x)\equiv q(x) \bmod m(x) $
se
$ p(x)= k(x) m(x) + q(x) $

Quindi ci sarà un teorema cinese del resto per i polinomi che ti dice quando un sistema di congruenze è risolubile o meno...