la pulce saltellante

[gibo92]

una pulce parte da un punto P e comincia a saltellare in giro. Ogni salto viene effettuato in una scelta delle quattro direzioni cardinali. sapendo ke ad ogni salto percorre sempre la stessa lunghezza quale è la probabilità ke dopo n passi la pulce si ritrovi nuovamente sul punto P?

[Giuseppe R]

Spero di non aver sbagliato niente...

Innanzitutto n è pari perchè in un percorso che faccia ritorno a P ho che il numero di salti verso sud=numero di salti verso nord=a, il numero di salti verso est = numero di salti verso ovest=b, per un totale di 2(a+b) salti. Quindi pongo n=2n. La pulce può fare k salti verso sud (e altri k verso nord), con $ k\leq n $, Quindi n-k salti verso est (e altri n-k verso ovest). Il numero totale di percorsi è quindi $ $\sum_{i=0}^n{\frac{2n!}{k!k!(n-k)!(n-k)!}}=\sum_{i=0}^n{\binom{n}{k}^2\binom{2n}{n}} =\binom{2n}{n}\sum_{i=0}^n{\binom{n}{k}^2}=\binom{2n}{n}^2 $
Ora tutti i casi possibili sono $ 4^{2n} $ (4 per ognuno dei 2n salti), per un risultato di $ P=\frac{\binom{2n}{n}^2}{4^{2n}} $

[gibo92]

corretto!

[Spammowarrior]

boh, c'è qualcosa che non mi torna.
innanzitutto non hai trovato una probabilità ma un conteggio di casi favorevoli, ma fa niente

però con la formula che hai usato tu, per n=2 si hanno 36 casi favorevoli, ma i casi possibili sono solo 16 :O

io ho provato a risolverlo, mi viene una formulazza finale che sembra corretta (per n=2 dà il risultato giusto) ma è talmente antiestetica che preferisco non postarla (potrete apprezzare la portata di questo fatto sapendo che ho apprezzato matrix revolution)

[gibo92]

boh, c'è qualcosa che non mi torna.
innanzitutto non hai trovato una probabilità ma un conteggio di casi favorevoli, ma fa niente

però con la formula che hai usato tu, per n=2 si hanno 36 casi favorevoli, ma i casi possibili sono solo 16 :O

io ho provato a risolverlo, mi viene una formulazza finale che sembra corretta (per n=2 dà il risultato giusto) ma è talmente antiestetica che preferisco non postarla (potrete apprezzare la portata di questo fatto sapendo che ho apprezzato matrix revolution)

nella dimostrazione ha posto n=2n (effettivamente quel 2n era meglio kiamarlo 2k per non fare confusione) e in effetti mancava da dire ke i casi possibili erano $ 4^{2n} $

[Giuseppe R]

Ora edito e aggiungo la probabilità, comunque per n=4 sono effettivamente 36, te ne sarai perso qualcuno come EST-OVEST-NORD-SUD o EST-OVEST-OVEST-EST, ecc.

BONUS: Qual è la probabilità di trovarsi dopo n passi in $ (x_n, y_n) $?

[Giuseppe R]

Ora edito e aggiungo la probabilità, comunque per n=4 sono effettivamente 36, te ne sarai perso qualcuno come EST-OVEST-NORD-SUD o EST-OVEST-OVEST-EST, ecc.

BONUS: Qual è la probabilità di trovarsi dopo n passi in $ (x_n, y_n) $?

[Spammowarrior]

Ora edito e aggiungo la probabilità, comunque per n=4 sono effettivamente 36, te ne sarai perso qualcuno come EST-OVEST-NORD-SUD o EST-OVEST-OVEST-EST, ecc.

BONUS: Qual è la probabilità di trovarsi dopo n passi in $ (x_n, y_n) $?

non ho perso nulla, è che ero turbato dalla tua scelta (piuttosto informatica, immagino) di porre n=2n, in modo che in fondo non si capiva più cos'era n e cos'era 2n

[Giuseppe R]

Ora edito e aggiungo la probabilità, comunque per n=4 sono effettivamente 36, te ne sarai perso qualcuno come EST-OVEST-NORD-SUD o EST-OVEST-OVEST-EST, ecc.

BONUS: Qual è la probabilità di trovarsi dopo n passi in $ (x_n, y_n) $?

non ho perso nulla, è che ero turbato dalla tua scelta (piuttosto informatica, immagino) di porre n=2n, in modo che in fondo non si capiva più cos'era n e cos'era 2n

Da quando ho posto n=2n, ho rispettato questa notazione... comunque in effetti potevo scegliere meglio le lettere... vabbè, ora via col bonus di cui sto ancora cercando la soluzione...