La parte frazionaria dei multipli di un irrazionale è densa

[dario2994]

Questo fatto sono certo che sia vero (e torna anche parecchio comodo) ma non sono riuscito ne a dimostrarlo ne a trovarlo su internet.
Qualcuno mi sa dire il nome, sempre che ne abbia uno, e linkarmi una dimostrazione.

Dato $ $\alpha $ irrazionale e $ 0<k<1 $ mostrare che $ \forall \varepsilon>0 $ esiste un n naturale tale che:
$ $k<\{n\alpha\}<k+\varepsilon $

[Maioc92]

sbaglio o è il teorema di Dirichlet?
La dimostrazione si fa per pigeonhole, e c'è anche nella dispensa sulle equazioni di Pell che jordan aveva postato un po' di tempo fa (lo so perchè la sto leggendo ora)

[ale.b]

scusate, potete linkare la dispensa che col search non la trovo? grazie

[Maioc92]

scusate, potete linkare la dispensa che col search non la trovo? grazie

è in questo topic:
viewtopic.php?t=13852&start=0

[EvaristeG]

Beh, Dirichlet si trovava anche su Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet' ... on_theorem
e comunque non mi sembra quello che aveva chiesto dario.

[Anér]

Dirichlet afferma che per ogni irrazionale $ \alpha $ e per ogni $ \varepsilon >0 $ esistono due naturali $ n, k $ tali che $ |n\alpha - k|<\varepsilon $ (in realtà dà anche dei limiti su $ n $ in base a $ \varepsilon $: $ n<\frac{1}{\varepsilon} $). Ora se prendiamo un multiplo intero di $ \alpha $ che disti meno di $ \varepsilon $ dall'intero più vicino, allora tra i multipli di questo multiplo ce ne sta uno con la parte frazionaria compresa tra $ k $ e $ k+\varepsilon $.

[EvaristeG]

non ho capito.. k per te è intero, nella richiesta di dario è tra 0 e 1...

[Maioc92]

Dirichlet afferma che per ogni irrazionale $ \alpha $ e per ogni $ \varepsilon >0 $ esistono due naturali $ n, k $ tali che $ |n\alpha - k|<\varepsilon $ (in realtà dà anche dei limiti su $ n $ in base a $ \varepsilon $: $ n<\frac{1}{\varepsilon} $). Ora se prendiamo un multiplo intero di $ \alpha $ che disti meno di $ \varepsilon $ dall'intero più vicino, allora tra i multipli di questo multiplo ce ne sta uno con la parte frazionaria compresa tra $ k $ e $ k+\varepsilon $.

esatto, era questo che intendevo, grazie aner

Mi dispiace se non ho linkato il teorema di dirichlet sulla wiki inglese, a dire il vero non ci ho nemmeno pensato

[EvaristeG]

ok, ma per cose diverse simboli diversi, la prossima volta, eh?

[Anér]

Ehm, effettivamente non è il massimo usare due volte la stessa lettera per cose diverse.