$ p^2-2q^2=1 $.
NB: non tirate fuori Pell e menate, è un esercizio facile
(l'ho proposto io!!)Facili quadrati di primi
Facili quadrati di primi
Determinare le coppie di numeri primi $ p,q $ tali che
$ p^2-2q^2=1 $.
NB: non tirate fuori Pell e menate, è un esercizio facile (l'ho proposto io!!)
$ p^2-2q^2=1 $.
NB: non tirate fuori Pell e menate, è un esercizio facile
(l'ho proposto io!!)Re: Facili quadrati di primi
Sia $ $w$ $ un numero primo maggiore di 6, allora deve essere $ $w \equiv \pm 1 \pmod 6$ $.EvaristeG ha scritto:Determinare le coppie di numeri primi $ p,q $ tali che
$ p^2-2q^2=1 $.
Ora, se $ $p>6$ $ e $ $q>6$ $, allora $ $p^2-2q^2 \equiv 1-2 \equiv -1 \neq 1 \pmod 6$ $ assurdo.
Quindi almeno uno fra $ $p$ $ e $ $q$ $ deve essere $ $<6$ $.
I numeri primi minori di 6 sono: 2, 3, 5. Sostituendo questi valori prima in $ $p$ $ e poi in $ $q$ $ trovo che l'unica soluzione è $ $(3,2)$ $.
Non che mi voglia prendere la gloria, comunque siamo giunti ad avere il quadrato di un primo uguale al prodotto di due fattori. Si deve verificare quindi uno di questi casi: $ 1\cdot q^2 $ o $ q \cdot q $ o $ q^2\cdot 1 $. Impongo $ LHS $ uguale a uno di questi casi e noto che l'unico che rispetta le ipotesi è: $ \displaystyle (p-1)= \frac {p+1}{2}=q $ da cui $ p=3 $ e $ q=2 $.EvaristeG ha scritto:ergo cosa?ndp15 ha scritto:ergo...
