minimo di una funzione in 3 variabili

[gian92]

guardando i video del pre imo ho sentito di un lemma a,b,c.
in pratica questo lemma dice che se ho una funzione a 3 variabili, questa può assumere massimo o minimo solo se due delle variabili sono uguali.
quali sono le condizioni sulla funzione affichè questo sia vero?

grazie!

[Giuseppe R]

Ne parla Gobbino alla fine del video A2 - 3 del senior medio dell'anno scorso.
http://olimpiadi.dm.unibo.it/videoLezio ... um%2FVideo

[gian92]

esattamente quello che cercavo, grazie mille!

se quindi io devo fare una disuguaglianza del tipo
$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqk $ siccome se lo dimostro per il minimo di lhs lo dimostro per tutti, posso prendere b=a?

mi sa che sto sbagliando qualcosa

[fph]

Servono delle ipotesi sulla funzione. Per esempio che sia un polinomio simmetrico di grado minore o uguale a 5, o che il termine in abc sia convesso/concavo/qualcosa del genere. Il video dovrebbe spiegare anche quello (al senior c'ero e mi ricordo che ne ha parlato)

[gian92]

appena ho un attimo riguardo con più attenzione il video!

ma la cosa che volevo fare io è lecita in quel caso?

[fph]

Uhm, per risponderti dovrei almeno sapere cosa c'è dall'altro lato della disuguaglianza...
Oltre a questo non mi è chiaro cosa vuoi fare. "Se lo dimostro per il minimo di LHS allora lo dimostro per tutti" è falso (pensaci un attimo, il minimo di LHS non è per forza il punto critico).
Comunque se eliminando i denominatori ti viene un polinomio simmetrico di grado 5 o meno, allora puoi ridurti al caso in cui due variabili sono uguali (ma probabilmente stai sparando a una mosca con un cannone).

[gian92]

oddio si scusa mi ero sbagliato a scrivere la disuguaglianza

comunque era così $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3 $
se trovo che vale per il minimo di Lhs vale per tutti gli altri valori!

quello che chiedevo è se posso prendere a=b grazie al lemma abc...

grazie per l'attenzione!

[fph]

Ehm... mi sa che manca ancora un pezzo, tipo un vincolo. Se no è banalmente falsa.

[gian92]

si hai ragione
$ \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\geq 3 $
$ a+b+c=6 $ tutti reali positivi.

[Spammowarrior]

non so aiutarti per questo teorema, ma occhio che quella disuguaglianza si risolve in maniera elementare

[gian92]

non so aiutarti per questo teorema, ma occhio che quella disuguaglianza si risolve in maniera elementare

sisi sapendo che la media armonica è minore di quella aritmetica si conclude.
però volevo capire come applicare questo lemma

[fph]

Beh, se ci picchi abbastanza duro si può applicare, dovresti:
1) omogeneizzare
2) levare i denominatori (esercizio di 'visione matematica': senza fare i conti, verrà un polinomio simmetrico? Di che grado?)
3) applicare il lemma e quindi ridurti al caso in cui a=b
4) dimostrare a mano il caso a=b

[gian92]

il motivo per cui non lo posso applicare direttamente è che non è omogenea all'inizio?

comunque scrivo come viene seguendo le tue istruzioni, magari a qualcuno può essere utile in futuro!
$ \displaystyle \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\geq 3\\ (a+b+c)(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c})=2(\frac{b^2c+c^2b+a^2c+ac^2+a^2b+b^2a}{abc})+6\geq 18\\ b^2c+c^2b+a^2c+ac^2+a^2b+b^2a\geq 6abc $
ora siccome è omogenea applico il lemma e quindi a=b
$ \displaystyle 2a^2c+2ac^2+2a^3-6a^2c\geq 0\\ ac^2+a^3-2a^2c=a(a-c)^2\geq 0 $
che è vero