Domande sullo stage: "teoria dei numeri"

[Olivo3]

Per le domande faccio riferimento allo stage di Campobasso in questo PDF http://olimpiadi.dm.unibo.it/downloads/Max/CB_N.pdf
Premetto che naturalmente ho guardato la parte di video su cui faccio le domande, ma che per comodità faccio riferimento al PDF del video.

1) A pagina 2, riguardo al problema 2 si giunge alla soluzione: 1+ 6/(n-5)
Qua va considerato il primo 1, o mi limito a considerare solo la frazione 6/n-5?
Idem a pagina 3, si considera o no n +5? O si considera solo 26/(n-5)

2) A pagine 4, in fondo, si arriva al risultato y = (x+1)/(x-1)... Come si trovano poi le soluzioni? Cos'è y?

3) Ecco Ruffini...
Qui da quello che ho capito il teorema dice che dato un polinomio in forma x^2+x-1, se p di alpha è 0, allora posso divedere, quindi p(x) è uguale a (x-alpha) q (x)...
Cos'è q (x)?
Poi da quello che ho capito il problema chiede di dire, sapendo che p(2006)= 0, di dire quanto può valere p(2004) in un qualsiasi polinomio del tipo x^2+x-1...
Poi la guida suggerisce di risolvere con Ruffini, dicendo che p(x)= (x-2006) q (x)
Qua ripeto la domanda di cosa significa q (x), e poi chiedo anche il perchè ha messo 2004 come x... Che senso ha? Forse ho capito male io il testo del problema, io ho inteso che p(2004) sia come p(2006), cioè ad esempio nel polinomio 2x^2-x-2006, p(2006) vale 0 e p(2004) vale -2. O Forse intende che la x vale 2004? Se fosse così, cosa significa allora trovare p(2004)?

Grazie, spero mi chiariate presto questi dubbi, in modo che possa continuare il video

[Claudio.]

1) Noi dobbiamo trovare per quali n $1+ \frac6{n-5}$è intero, 1 è intero quindi tutto quello è intero quando $\frac6{n-5}$ è intero.(La somma tra due numeri di cui uno intero è intera solo quando anche l'altra numero è intero, banale).

2)Cos'è y? Che significa cos'è y? Ma l'hai letto l'enunciato del problema?
Le soluzioni si trovano usando lo stesso metodi di quelli sopra, y deve essere intero siccome $y=\frac{x+1}{x-1}$ allora anche $\frac{x+1}{x-1}$ deve essere intero, come sempre $\frac{x+1}{x-1}=1+\frac2{x-1}$ quindi $x-1=1;2$(se x e y possono essere negativi allora $x-1=\pm1;\pm2$

3)Chi ti ha detto che deve avere qella forma? Non è vero, è valido per un qualsiasi polinomio.$q(x)$ è il quoziente, cioè quello che ottieni facendo la divisione tra polinomi tra $p(x)$ e $x-\alpha$ che può essere fatta anche tramite l'algoritmo di Ruffini(Tutto ciò l'hai studiato anche a scuola, anunciato però in maniera molto meno rigida e senza notazioni).

Importante: Ripeto che non è affatto detto che sia quella la forma: Un qualsiasi polinomio ha la forma: $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-3}+...+a_0$ con gli $a_i \in \mathbb R$(anche no) e $ n\in \mathbb N$ Quello che dici tu è un polinomio di secondo grado cioè nel caso in cui $n=2$ (Notazione(che dovresti conoscere): $a_n$ e $a_{n-1}$ non significa che $a_n-1=a_{n-1}$ sono solo gli elementi di un qualsiasi insieme o meglio n-upla.) un polinomio, chiaramente, è a coefficienti interi quando tutti gli $a_i \in \mathbb N$.

Importantissimo 2: la notazione $f(x)$ indica una funzione di x, cioè che, definito l'appartenza di x ad un intervallo, ad ogni x appartenente a questo intervallo viene associato un altro elemento(che può anche non appertentere all'intervallo detto prima. L'intervallo a cui appartiene x si chiama dominio della funzione, l'intervallo a cui appartengono i valori associati si chiama codominio. Ora $f(x)$ può essere difinita in molti modi, il più comune è quello tramite un espressione cioè per esempio $f(x)=x^2+\frac{x-2}{x^3-55}$, in questo caso i valori associati ad una x si trovano sostituento questo valore all'espressione, le funzioni possono anche essere costanti, cioè $f(x)=34$, cioè che a qualsiasi valore della x viene associato 34, o definite per casi.
I polinomi sono di primo tipo, ed hanno un espressione della forma che ho scritto sopra, quindi quando si dice $p(2004)$ o $p($qualsiasi cosa$)$, singnifica il valore che si ottiene sostituendo 2004 alla x.Siccome l'unica incognita è la x, sostituendo un valore noto alla x si ottiene un valore noto. Quindi $p(2004)$, indica un numero naturale(poichè il polinomio di cui parliamo è a coefficienti interi) e non più un'espressione con variabile.

[ma_go]

olivo, per il momento ignora il mio post: hai bisogno di chiarirti un po' di più le idee, poi tutto questo avrà molto più senso.

giusto per fare il puntiglioso: i polinomi non sono funzioni, ma al massimo esistono funzioni polinomiali, nel senso che esistono funzioni rappresentate da polinomi. ovvero, sono la valutazione di un polinomio. questo è giusto per fare il rompiscatole: sui razionali (reali, complessi) ogni funzione polinomiale determina un unico polinomio, ma su oggetti un po' più strani questo non è più vero (non è che serva neanche andare tanto lontano, basta considerare i polinomi $x$ e $x^2$ su $\mathbb{F}_2 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$...)
e, per inciso, fissiamo un campo $K$: un polinomio è definito come una somma formale $\sum a_jx^j$, dove gli $a_j$ sono elementi di $K$ e la $x$ è un'indeterminata, mentre una funzione (da $K$ in $K$) è definita come sottoinsieme $\Gamma$ di $K\times K$ che soddisfa la proprietà "per ogni $a\in K$ esiste ed è unico $b\in K$ tale che $(a,b)\in\Gamma$". informalmente, "una funzione è il suo grafico".

poi, la notazione $p(x)$ indica sia un polinomio $p$ in un'indeterminata $x$, sia la funzione polinomiale a lui associata, in cui la $x$ viene considerata come una fantomatica "variabile" che assume valori in $K$: questo è più che altro per comodità di scrittura/lettura, o se volete di pigrizia, però i due concetti vanno (andrebbero) tenuti ben distinti.

[Claudio.]

Ho voluto semplificare il tutto....come posso chiamare in generale le funzioni i polinomi e tutte le operazioni simili che usano quella notazione?

[ma_go]

"hai fatto bene" a semplificare, perché è utile per capire un paio di cose sui polinomi, ho solo voluto fare la debita precisazione, onde qualche utente meno esperto venisse completamente traviato

la notazione e la terminologia, in questo caso, sono volutamente (ed opportunamente) ambigue, quindi se non c'è bisogno di fare distinzione tra i due concetti o se la distinzione è chiara (ad esempio, se prendo il polinomio $x^p-x$ su $\mathbb{F}_p$ è abbastanza chiaro che sto considerando il polinomio e non la funzione polinomiale a lui associata su $\mathbb{F}_p$.

detto questo, la smetto di andare off-topic.