Numeri primi di Mersenne

[matty96]

Riguardando la divisibilità,ho visto un problema che dice di dimostrare che se $2^n-1$ è primo,allora anche $n$ è primo.Come faccio a farlo usando soltanto la divisibiltà?(senza congruenze si intende)
Pensandoci mi sono detto che per dimostrarlo si può mostrare che il doppio di un quadrato perfetto della forma $2^m$ è il successivo di un primo.Ma come?

[<enigma>]

Soluzione in una riga:

Testo nascosto:

$ 2^{a b}-1=(2^a-1)(1+2^a+2^{2a}+...+2^{(b-1)a}) $.

[matty96]

Forse ho capito cosa hai fatto.....ponendo n come prodotto di due numeri(cioè $n$ non primo) hai visto che quella cosa era un prodotto e ciò va in contraddizione con l'ipotesi.Giusto?
E per il problema di sotto hai qualche idea?(se hai una soluzione,mettila nascosta perchè voglio pensarci ancora un pò)

[<enigma>]

Forse ho capito cosa hai fatto.....ponendo n come prodotto di due numeri(cioè $n$ non primo) hai visto che quella cosa era un prodotto e ciò va in contraddizione con l'ipotesi.Giusto?
E per il problema di sotto hai qualche idea?(se hai una soluzione,mettila nascosta perchè voglio pensarci ancora un pò)

Sì, il procedimento è quello. Qual è il problema di sotto?

[matty96]

mostrare che il doppio di un quadrato perfetto della forma $2^m$ è il successivo di un primo.

P.S. anche io avevo pensato di porre n composto,però non mi ero reso conto di quello sviluppo
P.P.S. ora è semplice dimostrare questo,conoscendo i numeri primi di mersenne.....se $2^n-1=p \quad p\in \mathbb{P}$ allora $ 2^n=p+1$ .Per n=2 è chiaro che funzioni,quindi per $n \not = 2$,pongo$2^n = 2\cdot 2^{2m}$ e ottengo la tesi.L'ultimo passaggio posso farlo perche n è primo dispari e n-1 è pari,quindi quella cosa è un quadrato perfetto.

[<enigma>]

mostrare che il doppio di un quadrato perfetto della forma $2^m$ è il successivo di un primo.

Non è sempre vero Mancano delle condizioni!

[matty96]

Non è sempre vero Mancano delle condizioni!

$2\cdot2^m$ deve avere come esponente un primo? Nella soluzione ho messo n al posto di m

[Claudio.]

...che il doppio di un quadrato perfetto della forma $2^m$ è il successivo di un primo.

Ti faccio notare che ciò equivale a dire che $2^n-1$ è un primo quando n è dispari
Comunque no, non basta neanche che sia primo, il teorema è falso, stai attento, noi abbiamo dimostrato che quando $2^n-1$ è primo allora n deve essere primo, e non che quando n è primo allora $2^n-1$ lo è anche...

[matty96]

Effettivamente ho fatto un giro di parole,anche se il mio intento era di arrivare al fatto che se $2^n-1$ è primo vuol dire che $2^n$ è il successivo di un primo,ma dato che se n è primo e $2^n-1$ non lo deve essere per forza,non si può fare niente.Infatti nella dimostrazione ho presupposto $2^n-1$ primo e quindi n primo