Diofantea non difficile (Own)

[amatrix92]

Determinare tutti gli interi positivi $ a,b,n $ tali che

$ 15n^2 -ab^2 = 2-n $

[max tre]

è sbagliata, la lascio nascosta per "ricordo" e come monito per evitare erroracci in futuro

Testo nascosto:

$ ab^2=15n^2+n-2(*) $
$ 15n^2+n-(ab^2+2)=0 $
$ n=\frac{-1\pm\sqrt{1+60ab^2+120}}{30}=\frac{-1\pm\sqrt{60ab^2+121}}{30} $
$ 60ab^2+121=k^2 $
$ 60ab^2=k^2-121=(k+11)(k-11) $
$ n=\frac{-1\pm k}{30} $

Caso 1: $ n=\frac{-1+k}{30}\rightarrow k\equiv1 (mod30)\rightarrow k=30x_1+1 $
$ 60ab^2=(30x_1+12)(30x_1-10)=60(5x_1+2)(3x_1-1) $
$ ab^2=(5x_1+2)(3x_1-1)=15x_1^2+x_1-2(*) $
Questa è uguale a quella di partenza e posso ripetere la cosa infinite volte
Dovrebbe essere un esempio di discesa infinita (nel caso capitasse in gara, come dovrei scriverlo?),
quindi l'unico caso da controllare è $ x_1=x_2=...=x_i=n=0 $, da cui ottengo
$ ab^2=-2 $ che ha come uniche soluzioni $ a=-2; b=\pm1 $, che però non sono accettabili poiché $ a,n\leq0 $

Caso 2: $ n=\frac{-1-k}{30} $
però così $ n<0 $ poiché $ k\in N $, quindi non ci sono terne $ (a,b,n)\in N^3 $ che soddisfano l'equazione iniziale

[max tre]

edit

[max tre]

edit

[<enigma>]

Notare che la diofantea viene detta non difficile ma poi spacciata come own

[paga92aren]

Credo che la soluzione sia più semplice:
Chiamo $x=ab^2$ e noto che $x$ può essere un qualsiasi intero positivo.
Devo risolvere $15n^2+n-2-x=0$ che equivale a $x=(5n+2)(3n-1)$ quindi valgono tutte e solo le coppie del tipo $\left( n,(5n+2)(3n-1)\right) \forall n$
Ora trovate tutte le $x$ posso porre $b=1 \; a=x$ e sono soluzione assieme a $b=k$ con $k^2|x$ e $a=x/k^2$ e con questo ho trovato tutte le soluzioni.

[max tre]

"più facile" è una parola...
comunque, il caso 2 era da escludere poiché, in quel caso,
$ n=\frac{-1-k}{30}<0 $ poiché $ k\in N $

però qualcosa non torna...
da come la dici te ci sono soluzioni, da come la dico io no
ho visto che ne sai più di me quindi mi sai dire dove sbaglio?

[paga92aren]

Devi dimostrare che $x_1<n$ (la soluzione con $n$ è la soluzione minima, io trovo la soluzione $x_1$ che è più piccola quindi non esistono soluzioni).
Nel nostro caso $n=\frac{k-1}{30}$ con $k=30x_1+1$ che sostituendo scopri che $n=x_1$ quindi non hai trovato un'altra soluzione, ma girando intorno al problema hai ritrovato la stessa.

[max tre]

ok (e ho capito!)
era la prima volta che vedevo un esercizio dove usare una possibile discesa infinita e quando l'avevo vista nella teoria non avevo notato questo "dettaglio"
(che fosse $ x_1=x_2=...=x_i=n $ l'avevo notato anch'io senza preoccuparmene neanche un po' )
in pratica ho fatto una cappella assurda!
grazie (è comunque meglio sbagliare qua che sbagliare in gara)

[amatrix92]

Credo che la soluzione sia più semplice:
Chiamo $x=ab^2$ e noto che $x$ può essere un qualsiasi intero positivo.
Devo risolvere $15n^2+n-2-x=0$ che equivale a $x=(5n+2)(3n-1)$ quindi valgono tutte e solo le coppie del tipo $\left( n,(5n+2)(3n-1)\right) \forall n$
Ora trovate tutte le $x$ posso porre $b=1 \; a=x$ e sono soluzione assieme a $b=k$ con $k^2|x$ e $a=x/k^2$ e con questo ho trovato tutte le soluzioni.

quasi! Controlla il caso $ b \neq 1 $

[amatrix92]

Su dai nessuno riesce a finire di risolverla?

Provate con il caso $ a=56 $ e trovate tutte le soluzioni. Vi assicuro che sono in numero finito e facili da trovare!