Semplice ma carino

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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spugna
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Semplice ma carino

Messaggio da spugna »

Sperando che non esistano soluzioni estremamente banali non trovate dal sottoscritto, vi propongo questo problema (possibilmente da non "bruciare" subito)

Dimostrare che, comunque si prendano sul piano un triangolo equilatero $ABC$ e un punto $P$ (non necessariamente esterno), si può costruire un triangolo avente come lati $PA$, $PB$ e $PC$.

Bonus: determinare in quale caso si ottiene un triangolo degenere.
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)
Citrullo
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Re: Semplice ma carino

Messaggio da Citrullo »

Ahimè pensavo di esser stato bravo a risolverlo prima di rendermi conto che si conclude in un lampo con un noto teorema.. :roll:

Non lo brucio ma ammetto che mi aveva proprio fregato..! :lol:
Sonner
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Re: Semplice ma carino

Messaggio da Sonner »

Tolomeo a parte, esiste anche un'altra dimostrazione.

Ruotiamo tutto rispetto a B di 60°, allora: P va in P', A va in C, C va in C'. Ma allora PP'=PB e P'C=PA, quindi il trianglo PP'C soddisfa.
Citrullo
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Re: Semplice ma carino

Messaggio da Citrullo »

Molto bello! E giustamente se P $ \in $ circonferenza circoscritta ad ABC si vede che P,P' e C sono allineati e si sistema il caso degenere! :lol:
spugna
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Re: Semplice ma carino

Messaggio da spugna »

Sonner ha scritto:Tolomeo a parte, esiste anche un'altra dimostrazione.

Ruotiamo tutto rispetto a B di 60°, allora: P va in P', A va in C, C va in C'. Ma allora PP'=PB e P'C=PA, quindi il trianglo PP'C soddisfa.
Proprio come avevo fatto io :lol:
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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