Usare le congruenze

[razorbeard]

Trovare tutti i valori di $k$ per cui

1) $7k+3$
2) $6k+2$
3) $28k^3+24k^2+3k-1$

è un quadrato perfetto.

[LukasEta]

1)$7k=m^2-3$
Semplicemente studio i residui quadratici modulo 7, che appartengono all'insieme {0,1,2,4}. Allora non è possibile che $m^2-3 \equiv 0 \mod 7$
SOLUZIONE: nessuna $k$.

2)$6k=m^2-2$
Analogamente studio i residui quadratici modulo 6, che appartengono all'insieme {0,1,3,4}. Allora non è possibile che $m^2-2 \equiv 0 \mod 6$.
SOLUZIONE: nessuna $k$.

3)$28k^3+24k^2+3k-1=m^2$
Ci penso dopo

[Giuseppe R]

3) $28k^3+24k^2+3k-1$

Hintone

Testo nascosto:

$28k^3+24k^2+3k-1 = (2k+1)^2 \cdot (7k-1)$

[razorbeard]

Dato che abbiamo il prodotto di un quadrato perfetto per un altro fattore,quell'altro dovrà essere ancora un quadrato perfetto.
$7k-1=m^2 \Rightarrow 7k=m^2+1$
a me serve un residuo quadratico uguale a 6 $\mod 7$, che non esiste.
Quindi non c'è nessun valore di $k$.
Se è giusto allora forse ho capito...

[Giuseppe R]

Dato che abbiamo il prodotto di un quadrato perfetto per un altro fattore,quell'altro dovrà essere ancora un quadrato perfetto.
$7k-1=m^2 \Rightarrow 7k=m^2+1$
a me serve un residuo quadratico uguale a 6 $\mod 7$, che non esiste.
Quindi non c'è nessun valore di $k$.
Se è giusto allora forse ho capito...

Giustissimo

[LukasEta]

Usando il gigantesco hint...xD

3)$28k^3+24k^2+3k-1=(2k+1)^2\cdot(7k-1)=m^2$

Siccome $m^2$ è il prodotto di un quadrato perfetto e di un altro fattore, allora anche l'altro fattore dovrà essere un quadrato perfetto.

Dunque $7k=s^2+1$ per qualche $s$ intero.. ma andando a studiare i residui quadratici mod 7 ciò non è possibile.

SOLUZIONE : nessuna $k$.