Faticosa evasione

[Drago96]

Bonus: se l'altezza totale della torre è espressa da $ \displaystyle\sum _{n=1}^{99} (3^n\cdot\frac{3^{n+3}}{2^{n+2}}) $ a quanto equivale l'altezza di ciascuna scala?

Me ne sono accorto solo ora, ma, ad esempio, per n=1 viene ${243 \over 8}$, che è un razionale... Ci sono dei gradini a metà??

[Hawk]

Lascialo perdere il bonus, forse è ancora troppo presto provare ad inventare esercizi intelligenti .

Comunque sia, dato che le scale hanno tutte la medesima altezza, ti basta calcolare la sommatoria e dividere.

[Drago96]

Lascialo perdere il bonus, forse è ancora troppo presto provare ad inventare esercizi intelligenti .

L'hai inventato te?

Comunque ora provo a darlo in pasto al computer e vediamo che mi dice...

[Hawk]

Sì.

[Drago96]

4.0409837685768794e+65

Questo è il numero totale degli scalini... Un po' alta come torre, non trovi???

Codice (perchè temo sempre di fare errori...)

Testo nascosto:

<script type="text/javascript">
a = 0;
for (i=1;i<100;i++) {
x = Math.pow(3,i);
y = Math.pow(3,i+3) / Math.pow(2,i+2);
a += x*y;
};
document.write(a);
</script>

Comunque sia, dato che le scale hanno tutte la medesima altezza, ti basta calcolare la sommatoria e dividere.

Per cosa? Non hai detto il numero di piani (o forse è 99... )

Vabbeh, provo a risolverla e vedo cosa mi viene (tanto non riuscirò a risolverla... )

[Hawk]

Stavamo parlando della torre di Jack no ? Il numero di piani è 221, da quei dati ti trovi il numero di scale.

[Hawk]

Va bene, posto quello che ho fatto:
Altezza della torre:
$ \displaystyle\sum_{n=1}^{99} \frac{3^{2n+3}}{2^{n+2}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{99}\left[\frac{243}{8}\cdot\left(\frac{9}{2}\right)^n\right]=\frac{243}{8}\cdot\displaystyle\sum_{n=1}^{99}\left(\frac{9}{2}\right)^n $
Bene adesso dovrei utilizzare una formula chiusa ma non so se l'ho applicata bene:

$ \displaystyle\frac{243}{8}\cdot\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{99}\left(\frac{9}{2}\right)^n+\left(\frac{9}{2}\right)^{99}-1\right)=\left[\displaystyle\frac{243}{8}\cdot\left(\frac{1-\left(\displaystyle\frac{9}{2}\right)^{99}}{1-\displaystyle\frac{9}{2}}+\left(\frac{9}{2}\right)^{99}-1\right)\right] $

Altezza di ciascuna scala:

$ \left[\displaystyle\frac{243}{8}\cdot\left(\frac{1-\left(\displaystyle\frac{9}{2}\right)^{99}}{1-\displaystyle\frac{9}{2}}+\left(\frac{9}{2}\right)^{99}-1\right)\right]:\displaystyle\sum_{n=1}^{221}n $

Questo è quello che sono riuscito a fare,però ora ci vogliono i calcolatori !
Sperando che quello fatto sia giusto!

Mio Dio! Che mare di conti, credo proprio di lasciarlo perdere questo maledetto bonus!
Io intendevo per l'altezza della torre, senza considerare i gradini, la somma dell'altezze di tutte le scale, che sono uguali.

Praticamente questo post è pieno di calcoli errati.

[Drago96]

Va bene, posto quello che ho fatto:
$ \displaystyle\sum_{n=1}^{99} \frac{3^{2n+3}}{2^{n+2}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{99}\left[\frac{243}{8}\cdot\left(\frac{9}{2}\right)^n\right] $

Questo mi pare sbagliato... Non dovrebbe essere:
$ \displaystyle\sum_{n=1}^{99}\frac{27}{4}\cdot\left(\frac{9}{2}\right)^n $
???

Bene adesso dovrei utilizzare una formula chiusa ma non so se l'ho applicata bene

Non saprei aiutarti, dato che non so cosa sia...

Però, guardando su wikipedia, direi:
$ \displaystyle\frac{27}{4}\cdot{9^{100}-9 \over 9-1}\cdot{2-1 \over 2^{100} - 2} $
Potrebbe essere giusto???

[Hawk]

Nel primo caso hai considerato n=0, invece dovevi partire da n=1.
Per la seconda: sto letteramente impazzendo per il Latex e quel mare di contazzi!
L'unica formula utile per quel passaggio, che ho trovato è questa:
$ \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} x^i=\displaystyle\frac{1-x^n}{1-x} $
Chiaramente applicata al mio caso l'intervallo di valori va da 0 a 98, quindi devo aggiungere x^99 e togliere 1 perchè lo zero non era compreso.

[Drago96]

Nel primo caso hai considerato n=0, invece dovevi partire da n=1.

Ho semplicemente fatto $ \displaystyle\sum_{n=1}^{99}{3^{2n+3} \over 2^{n+2}} = \sum_{n=1}^{99}{3^n \cdot 3^n \cdot 3^3 \over 2^n \cdot 2^2} = \sum_{n=1}^{99}{27 \over 4}\cdot \left({9 \over 2}\right)^n $

Per la seconda: sto letteramente impazzendo per il Latex e quel mare di contazzi!
L'unica formula utile per quel passaggio, che ho trovato è questa:
$ \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} x^i=\displaystyle\frac{1-x^n}{1-x} $

Io ho trovato questa (che è praticamente uguale, ma non ti incasini a dover portare la i a 0... ):

(e immagino di aver fatto bene le sostituzioni... )

[Hawk]

Mi hai dato un'idea :

$ \displaystyle\sum_{n=1}^{99} \frac{3^{2n+3}}{2^{n+2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{98}\left[\frac{243}{8}\cdot\left(\frac{9}{2}\right)^n\right]=\frac{243}{8}\cdot\displaystyle\sum_{n=0}^{98}\left(\frac{9}{2}\right)^n $
Ora:

$ \displaystyle\frac{243}{8}\cdot\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{98-1}\left(\frac{9}{2}\right)^n+\left(\frac{9}{2}\right)^{98}\right)=\left[\displaystyle\frac{243}{8}\cdot\left(\frac{1-\left(\displaystyle\frac{9}{2}\right)^{98}}{1-\displaystyle\frac{9}{2}}+\left(\frac{9}{2}\right)^{98}\right)\right] $

Altezza di ciascuna scala:

$ \left[\displaystyle\frac{243}{8}\cdot\left(\frac{1-\left(\displaystyle\frac{9}{2}\right)^{98}}{1-\displaystyle\frac{9}{2}}+\left(\frac{9}{2}\right)^{98}\right)\right]:\displaystyle\sum_{n=1}^{221}n $

Perdona l'errore.
La tua idea era comunque buona, probabilmente migliore della mia, ma per risparmiare tempo ho ricopiato i conti e aggiustato, adesso dovrebbe essere tutto giusto.

[Drago96]

Non mi pare che sia molto diverso...

Comunque io direi che la somma è:
$ \displaystyle\frac{27}{4}\cdot{9^{100}-9 \over 9-1}\cdot{2-1 \over 2^{100} - 2} = {3^3 \cdot(3^{200} - 3^2) \over 2^2 \cdot 2^3 \cdot 2(2^{99}-1)} = {3^5(3^{198}-1) \over 2^6(2^{99}-1)} $
Che, diviso per 221, dà circa $ 1,6 \cdot 10^{63}$
Come ho già detto, un po' alto per essere una torre...

[Hawk]

Adesso che guardo bene, la nostra è proprio una serie geometrica:

$ \displaystyle\sum_{k=0}^{n}ar^k=\displaystyle\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r} $
Provo ad applicarla nel nostro caso;
$ \displaystyle\sum_{n=1}^{99} \frac{3^{2n+3}}{2^{n+2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{98}\left[\frac{243}{8}\cdot\left(\frac{9}{2}\right)^n\right]=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{243}{8}\left[1-\left(\displaystyle\frac{9}{2}\right)^{99}\right]}{1-\displaystyle\frac{9}{2}} $

Quindi il risultato finale deve essere dato da: $ \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{243}{8}\left[1-\left(\displaystyle\frac{9}{2}\right)^{99}\right]}{1-\displaystyle\frac{9}{2}}:\displaystyle\sum_{n=1}^{221}n $

D'accordissimo sul fatto che una torre del genere non esista

[Drago96]

Oggi in classe ho pensato a un problema alquanto stupido, sempre sulle sommatorie.
Prima l'ho risolto con la sommatoria, poi mi è venuta un'idea che lo rendeva molto più semplice e veloce da calcolare...

Comunque è questo:

Calcolare la somma di -1-2-3-4-5+6+7+...+100 (cinque meno e cinque più)

Lo so, è abbastanza scemo...

Soluzione senza sommatorie:

Testo nascosto:

$ \displaystyle-1-2-3-4-5+6+7+...+100 = -1-2-3-4-5+(5+1)+(5+2)+...+100 $
Semplifico tutti gli 1,11..91,2,12..92..95 e ottengo $5 \cdot 5 \cdot 10 = 250$

Con le sommatorie:

Testo nascosto:

Somma dei positivi: $ \displaystyle\sum_{i=0}^{9}50i+40 $
Somma dei negativi: $ \displaystyle- \sum_{i=0}^{9}50i+15 $
Perciò: $ \displaystyle{\sum_{i=0}^{9}50i+40 - \sum_{i=0}^{9}50i+15 = \sum_{i=0}^{9}40-15 = 25 \cdot 10 = 250} $

[SkZ]

Testo nascosto:

raggrruppando a gruppi di 10 hai $\sum_{i=1}^{10}\left[-\left(10i-9+\dots+10i-5\right)+\left(10i-4+\dots+10i\right)\right]=\sum_{i-1}^{10}25=250$