Sempre Quadrato
Sempre Quadrato
Mostrare che $ \displaystyle 24 \binom {n}{4} + 1 $ è sempre un quadrato perfetto per $ n>4 $
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Sempre Quadrato
Uso l'induzione.
per $n=5$ è vero, viene 121.
ora suppongo che sia vero per n, dunque ho che ${n!\over (n-4)!}+1=n(n-1)(n-2)(n-3)+1$ è un quadrato perfetto.
vedo che succede con n+1: ${(n+1)!\over (n-3)!}+1=n(n+1)(n-1)(n-2)+1$ che è esattamente la cosa di sopra con n+1 al posto di n.
finito
Scusa la brevità, ma con il telefono non sono molto comodo...
per $n=5$ è vero, viene 121.
ora suppongo che sia vero per n, dunque ho che ${n!\over (n-4)!}+1=n(n-1)(n-2)(n-3)+1$ è un quadrato perfetto.
vedo che succede con n+1: ${(n+1)!\over (n-3)!}+1=n(n+1)(n-1)(n-2)+1$ che è esattamente la cosa di sopra con n+1 al posto di n.
finito
Scusa la brevità, ma con il telefono non sono molto comodo...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Sempre Quadrato
Direi che non è la stessa cosa... devi dimostrare che quello è sempre un quadrato.. tu hai fatto vedere che sia n che n+1 sono chiaramente prodotto di 4 interi consecutivi +1. Il testo potevo tranquillametne scriverlo come: mostrare che il prodotto di 4 interi consecutivi + 1 è sempre un quadrato perfetto.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Sempre Quadrato
Lo è per n naturale, infatti sia 1 che 25 sono quadrati.
Comunque, $24\binom n 4 +1 = n(n-1)(n-2)(n-3) + 1 = n^4 -6n^3 + 11n^2 -6n + 1 = (n^2 -3n + 1)^2$
Comunque, $24\binom n 4 +1 = n(n-1)(n-2)(n-3) + 1 = n^4 -6n^3 + 11n^2 -6n + 1 = (n^2 -3n + 1)^2$
Re: Sempre Quadrato
Esatto. Comunque era chiaro n naturale.. l'avevo scritto con il coefficente binomiale apposta...sasha™ ha scritto:Lo è per n naturale, infatti sia 1 che 25 sono quadrati.
Comunque, $24\binom n 4 +1 = n(n-1)(n-2)(n-3) + 1 = n^4 -6n^3 + 11n^2 -6n + 1 = (n^2 -3n + 1)^2$
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Sempre Quadrato
Intendevo che vale anche per $n≤4$.