Equazione di terzo grado

[razorbeard]

Determinare per quali valori interi di $a$ l'equazione $x^3+(a-4)x^2+(a+4)x+9=0$ ha esattamente due soluzioni intere distinte.

[xXStephXx]

$ a=-5 $ e $ a=-1 $

Ora che noto: è accettabile solo $ a=-1 $... O_O

[razorbeard]

Ma come ci sei arrivato?

[xXStephXx]

Chiamo $ \alpha $, $ \beta $ e $ \gamma $ le tre soluzioni intere dell'equazione.
So che:
$ \alpha+\beta+\gamma=4-a $
$ \alpha\beta\gamma=-9 $
$ \alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma=a+4 $
Ora so che $ -9 $ si può ottenere con $ (9,1,-1) $, $ (-9,1,1) $, $ (3,1,-1) $ e $ (-3,1,1) $.
Siccome le equazioni sono simmetriche assegno i valori indipendentemente dall'ordine. Così ho provato tutti e 4 i casi e mi son ricavato che $ a=-5 $, $ a=-1 $.
Solo che se $ a=-5 $ le soluzioni sono 3, quindi non è accettabile, mentre per $ a=-1 $ ci sono due soluzioni.

[fph]

L'esercizio è wordato in modo un po' ambiguo, ma secondo me devi anche trattare/escludere il caso in cui $\alpha\neq\beta$ sono interi e $\gamma$ no. Non è difficile...

[xXStephXx]

$ \alpha+\beta+\gamma=4-a $
In quel caso anche $ a $ non sarebbe intero, però il testo dice che $ a $ deve essere intero.

PS: ma non ho capito, perchè va analizzato anche questo caso, se il testo dice che le soluzioni devono essere intere?

[razorbeard]

Io questo l'avevo risolto in modo un po' diverso:sapendo che le soluzioni devono essere 2, ho fatto $(x-\alpha)^2(x-\beta)=0$.Poi ho ragionato come xXStephXx, ma mi è venuto che anche $a=-5$ è accetabile.

[patatone]

hai dimenticato dei casi.... comunque io partirei dal fatto che il polinomio si scompone come $(x+1)(x^2+(a-5)x+9)$, il problema si semplifica notevolmente

[xXStephXx]

E il secondo fattore viene un quadrato perfetto nel caso $ a=-1 $.
[edit] comunque quali altri casi dovevo analizzare?

Ah vero, viene quadrato perfetto anche per $ a=11 $ xD
E i casi dimenticati erano $ (-3,-3,-1) $ e $ (-9,-1,-1) $? (mi sono proprio sfuggiti! XD)

[patatone]

si esatto in pratica hai 2 casi:
1)la radice doppia sta nel secondo fattore che quindi deve essere un quadrato, poni il delta uguale a 0 e trovi a=-1 o a=11
2)la radice doppia è -1, quindi $x^2+(a-5)x+9$ calcolato in -1 deve valere 0 da cui a=15 che è l'ultimo possibile valore di a.

[fph]

PS: ma non ho capito, perchè va analizzato anche questo caso, se il testo dice che le soluzioni devono essere intere?

Il testo dice che ci sono esattamente due soluzioni intere distinte, ma non dice nulla su possibili altre soluzioni non intere. Concordi, per esempio, che è corretto dire "l'equazione $(x-1)(x-2)(x^2-2)$ ha esattamente due soluzioni intere distinte"? La situazione qui è la stessa secondo me.

Come scrivevo il testo non è il massimo, ma in ogni caso se io mi trovassi da correggere quella tua soluzione in una gara borbotterei qualcosa su chi ha scritto l'esercizio e poi penserei se devo toglierti uno o due punti.
Comunque il passo che manca non è complicato, e tu l'hai svolto correttamente nel nuovo messaggio.

[xXStephXx]

Ah ok grazie, ho capito.