Funzione suriettiva

[scambret]

Come posso dimostrare che, definita una funzione nei naturali, se $ n=f(n) $ allora $ f(n)=f(f(n)) $. E questa uguaglianza è legata a qualche caratteristica della funzione, tipo se è iniettiva, suriettiva, monotona o cose del genere? Grazie mille

[ma_go]

sei sicuro di non voler sapere se "$\forall n: f(n) = f(f(n))$ implica $\forall n: n = f(n)$"?

la freccia che vuoi dimostrare tu è facile: per ogni $n$ naturale abbiamo $n=f(n)$. adesso prendi $m$ naturale; $f(m)$ è anche lui naturale, e quindi (sostituendo $n=f(m)$ nella tua ipotesi) ottieni che $f(m) = f(f(m))$. ma questo vale per ogni $m$ naturale: non avevamo messo nessun'altra ipotesi su $m$. ovviamente, chiamare le cose $m$ o $n$ o $pippo$ (quando sono quantificate) è irrilevante, quindi quello che vuoi dimostrare è vero.

se invece vuoi dimostrare l'altra cosa, in generale ti serve la suriettività, e ti invito a pensare perché..

[scambret]

se invece vuoi dimostrare l'altra cosa, in generale ti serve la suriettività, e ti invito a pensare perché..

Ho pensato, ma credo che sia un tentativo a vuoto..
Allora l'Hp è: $ f(x)=f(f(x)) $, perciò pongo $ f(x)=y $, ma questo va bene se e solo se, detti $ X $ e $ Y $ rispettivamente il dominio e il codominio $ \forall y \in Y \exists x \in X \mid f(x)=y $ cioè se la funzione è suriettiva, e da li $ y=f(y) $. Ma non penso sia cosi!

non avevamo messo nessun'altra ipotesi su $ m $

.
Ci possono essere delle restrizioni? Grazie mille!!

[ma_go]

Allora l'Hp è: $ f(x)=f(f(x)) $, perciò pongo $ f(x)=y $, ma questo va bene se e solo se, detti $ X $ e $ Y $ rispettivamente il dominio e il codominio $ \forall y \in Y \exists x \in X \mid f(x)=y $ cioè se la funzione è suriettiva, e da li $ y=f(y) $. Ma non penso sia cosi!

è detto in modo un po' contorto, ma la sostanza è quella: puoi sempre chiamare $f(x)=y$, il punto è che ogni relazione che ricavi in quel modo funziona per tutti gli $y$ nell'immagine di $f$ (e a priori potrebbe fallire per gli $y$ fuori dall'immagine). se $f$ è suriettiva, però, tutti gli elementi di $Y$ sono della forma $f(x)$, quindi hai vinto.

non avevamo messo nessun'altra ipotesi su $ m $

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Ci possono essere delle restrizioni? Grazie mille!!

boh, magari in qualche caso più generale ci possono essere delle restrizioni strane.. ma la mia era un'affermazione di poco senso (e poco senno)..

[scambret]

Comunque mi serviva solo la prima! Però questa cosa potrà tornare utile