Cubi modulo m

[Gneo]

Si sa che i quadrati modulo m seguono un ciclo lungo m. Ad esempio i quadrati maggiori o uguali a 0 modulo 6 sono 0, 1, 4, 3, 4, 1 per poi ricominciare con 0, 1, 4 etc etc, in totale 6 valori. C'è qualche ricorrenza del genere anche per i cubi?

[Robertopphneimer]

bella domanda!! aspetto con te una risposta

[ant.py]

Non ho capito bene, intendi i residui quadratici modulo m?

Cioè $ 0^2 \pmod 6, 1^2 \pmod 6 $ eccetera eccetera? Se fosse così sla sequenza sarebbe 0, 1, 4, 3, 4, 1 e, senza contare lo zero iniziale, sarebbe palindroma per ogni m (ovviamente, essendo $ x^2 \equiv (m-x)^2 \pmod m $ )

E in tal caso certo ci sono cicli per ogni potenza che desideri semplicemente perché, modulo m, le classi di resto sono solo m; ovvero consideri i numeri da 0 a m-1 e poi da li in poi é la stessa cosa ( m equivale a 0, m+1 equivale a 1 ecc)

Ma forse ho capito male la domanda..

[Robertopphneimer]

no da quel che ho capito io non intendeva quello ma i residui cubici(se così si chiamano) cioè per esempio le classi di resto $ x^3modn $
come ad esempio per n=4 abbiamo 0 o 1.

ps: Secondo me questo servirebbe per equazioni Diofantee con n =3 o più genericamente se c'è un teorema per le classi di resto con n>2(a parte quelle che sono impossibili per l'ultimo teorema di Fermart).

[ant.py]

Eh appunto, il ciclo di 4 per le terza potenza é 0, 1, 0, 1 eccetera eccetera.. Ed un ciclo lungo m si ha sempre per qualsiasi potenza, che sia seconda, terza o $ 10^{10^{10}} $perchè le classi di resto sono solo m..

Sinceramente non ho capito bene cosa cercate..

[Robertopphneimer]

ciò che hai detto,cioè nelle dispense parlano solo di residui quadratici a me serviva per esponenti più alti...quindi non cambiano i residui poichéil modulo m rimane sempre lo stesso?

[ant.py]

Guarda, parlando modulo m ci sono solo m classi si resto; puoi pensarlo come se ci fossero solo m numeri, a meno di eventuali ripetizioni.

Ora é ovvio che se hai solo m numeri, a qualsiasi potenza li elevi avrai un ciclo lungo m; tanto tutti gli altri numeri al di fuori di quegli m sono solo ripetizioni

Per capirci; prendi m = 6; scegli una potenza e inizi a elevare alla n, con n qualsiasi

Cosa avrai? $ 0^n $ , $ 1^n $, ecc. Ecc. fino a $ 5^n $.. Fatto questo, il prossimo numero é $ 6^n \equiv 0^n \pmod 6 $, che hai già calcolato
Andando vanti trovi $ 7^n \equiv 1^n \pmod 6 $, che hai già calcolato.. E così via

Chiaro?

[Robertopphneimer]

chiarissimo tutto molto semplice.

[jordan]

Sono l'unico in quest thread che non ha capito nè domanda nè risposta?

[Robertopphneimer]

Cavolo allora stiamo messi male...

[Gneo]

Chiarissimo anche per me! Era sufficiente generalizzare il problema utilizzando l'esponente $ ^n $.

[jordan]

Si sa che i quadrati modulo m seguono un ciclo lungo m.

Cos'è un ciclo, forse intendi che sono periodici modulo m?

Ad esempio i quadrati maggiori o uguali a 0 modulo 6 sono 0, 1, 2, 3, 4, 1 per poi ricominciare con 0, 1, 2 etc etc,

Davvero? Ricontrolla un po' i tuoi conti..

in totale 6 cifre.

Metti che 12 e' un residuo quadratico modulo 13, quindi il 12 conta per 2 cifre?
Siamo in un forum di matematica, cercate di utilizzare un linguaggio adeguato..

C'è qualche ricorrenza del genere anche per i cubi?

Se intendi chiedere se anche loro sono periodici modulo m, e' sufficiente capire cos'è una classe di resto..

Chiarissimo anche per me! Era sufficiente generalizzare il problema utilizzando l'esponente $ ^n $.

Se lo dici te..

[Gneo]

Oh sì, è vero. Chiedo venia alla matematica, ho commesso errori imperdonabili. Comunque grazie, non conoscevo le classi di resto.

[Robertopphneimer]

Oh sì, è vero. Chiedo venia alla matematica, ho commesso errori imperdonabili. Comunque grazie, non conoscevo le classi di resto.

Gneo non ti posso rispondere per messaggi privati perché hai disabilitato la ricezione di essi.

Si sa che i quadrati modulo m seguono un ciclo lungo m.

Cos'è un ciclo, forse intendi che sono periodici modulo m?
Se intendi chiedere se anche loro sono periodici modulo m, e' sufficiente capire cos'è una classe di resto....

Ciao jordan ormai sai che sono cocciuto,comunque diciamo che avevo inteso il problema senza controllare alcune proposizioni di Gneo,comunque si hai ragione bastano le classi di resto.