$m^2+1 \mid n^2+1 \implies m\in \{0,n\}$

[jordan]

Mostrare che esistono infiniti interi $n\ge 0$ tali che $m^2+1 \mid n^2+1$ per qualche intero $m\ge 0$ implica $m\in \{0, n\}$.

(Iran 2010)

[Troleito br00tal]

Sia $S$ l'insieme dei numeri interi $n \ge 0$ tali che $m^2+1∣n^2+1$ ha soluzione solo per $m=0$ o $m \ge n$. Supponiamo che $S$ sia finito.

Dimostriamo che, per qualsiasi $a$, $a^2+1$ è diviso da un numero dell'insieme $S$: questo è ovvio se $a$ appartiene a $S$, mentre se non vi appartiene, per come $S$ è definito, avrà un divisore più piccolo. Poiché il processo non si può reiterare all'infinito, allora quanto detto sopra dev'essere vero.

Ma allora ho finito: poiché $S$ è finito mi basta prendere $b=(s_1^2+1)(s_2^2+1)...$ dove $s_i$ è un elemento di $S$. Sia avrà che $b^2+1$ non è divisibile per alcun elemento di $S$: assurdo.

[jordan]

L'idea di base è giusta, ma in gara non prenderesti punteggio pieno: manca il fatto (seppur banale) di mostrare che $S\neq \emptyset$

[Troleito br00tal]

L'idea di base è giusta, ma in gara non prenderesti punteggio pieno: manca il fatto (seppur banale) di mostrare che $S\neq \emptyset$

Giusto