154. Diofantea Americana

[Lasker]

Risolvere negli interi non-negativi la seguente equazione:
$$2^x-1=xy$$

[mat94]

A mano si vede che (0,y) e (1,1) sono soluzioni, dunque pongo $x>1$. Voglio dimostrare che x non divide $2^x-1$. Prendo il più piccolo primo che divide x e lo chiamo p. Si ha che $2^x\equiv 1 \mod p$ e quindi $ord_p(2)|x$. Ma dato che $ord_p(2)\leq p-1$, l'ordine può essere solo uguale a 1, il che è impossibile e dunque non vi sono altre soluzioni.

[Lasker]

Ottima soluzione, a te il prossimo problema!

[jordan]

Dovresti aggiungere il fatto che x e' necessariamente dispari..

[mat94]

Si hai ragione ho dimenticato di dirlo, comunque è dispari poiché $2^x-1$ è dispari e non può avere divisori pari.