Diofantea prima

[Triarii]

Trovare tutte le soluzioni di $ p^a=q^b+r^c $
con $ a,b,c $ naturali maggiori di 1 e $ p,q,r $ primi (non necessariamente distinti)

[Triarii]

Una manina? Mi sono bloccato quasi subito :/ (ho solo risolto il caso con p=q=r=2). Comunque sono sicuro che abbia una soluzione elementare visto che l'ho preso da una dispensa.

[Gottinger95]

Io anche, ho capito che deve essere \(2^a = p^b \pm q^c\) con \(p,q\) distinti (per non ricadere nel caso \(p=q=2\) ), ma basta!
Tra l'altro mi pare dura anche che \(q,r\) variino in un insieme piccolo di primi... a quel punto basterebbe provarli e trovare gli esponenti:
\(2^5 = 13 + 19, \ \ 2^6 = 67 - 3 = 71-7, 2= p_1 - p_2 \) con \(p_1,p_2\) primi gemelli
Ma anche con esponenti più grandi è dura comunque:
\(2^4 = 5^2 - 3^2, \ \ 2^7 = 11^2 + 7,\ \ 149+7^3 = 2^9\)

Insomma, l'evidenza numerica non aiuta..almeno ai miei poveri occhi non si mostra nulla di particolare!

[Lasker]

@Gottinger95

$a,b,c$ naturali maggiori di 1

Quindi alcune delle soluzioni proposte non sono accettabili!

[darkcrystal]

Per curiosità, potresti per favore linkare la dispensa da cui hai preso questo problema? Grazie!

[Triarii]

Certo!
http://www.fmf.uni-lj.si/~lavric/Santos ... ntests.pdf
L'esercizio è il numero 215 a pagina 31 (oppure la 35 se guardi quella che ti dà il pdf)

[Gottinger95]

Nel pdf c'è solo \(a>1\), quindi a mia insaputa le soluzioni che ho scritto purtroppo sono giuste :S

[Triarii]

Sì è vero ho sbagliato a scrivere le condizioni (però con solo a>1 è più difficile visto che ci sono altri casi )

[karlosson_sul_tetto]

E la soluzione con $ a\geq 1 $ implica anche la congettura dei primi gemelli...

[darkcrystal]

Sono molto poco convinto esista una soluzione semplice; tra l'altro, il testo di questo problema, nel PDF che è stato linkato, sembra essere scritto particolarmente male, il che mi lascia pensare che questo non fosse il problema che aveva in mente l'autore.
Il caso generale mi sembra molto difficile: per ora vi consiglierei di assumere che almeno 2 degli esponenti siano pari e vedere cosa se ne può cavare (se non mi sbaglio questo caso si risolve completamente).
[Tanto per cultura, in un libro degli anni ottanta il problema "per $p,q$ primi fissati ed $h$ un intero fissato, quante soluzioni ha l'equazione $p^m-q^n=2^h$?" è segnalato come aperto...]