E' un mese che nessuno risponde, non è normale
Detto $\mathcal{Q}:=\{x+1,x+2,\ldots,x+p-1\}$ per qualche intero $x$ e primo $p$ tale che $4\mid p+1$, se esistesse una partizione di $\mathcal{Q}$ in $\mathcal{A}$ e $\mathcal{B}$ allora $p\mid x$ altrimenti esattamente uno tra $\mathcal{A}$ e $\mathcal{B}$ avrebbe intersezione non vuota con $p\mathbb{Z}$. D'altra parte se $\prod_{a \in \mathcal{A}}{a}=\prod_{b \in \mathcal{B}}{b}=\prod_{q \in \mathcal{Q}}{q} / \prod_{a \in \mathcal{A}}{a}$ allora per il teorema di Wilson (una generalizzazione
qui) abbiamo in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$:
\[ \left(\prod_{a \in \mathcal{A}}{a}\right)^2=\prod_{q \in \mathcal{Q}}{q}=-1,\]
che è assurdo.
Solo una piccola domanda: non ho ben capito la prima parte della tua dimostrazione, quella in cui dici che $p\mid x$. O meglio, a senso lo capisco (in pratica vuoi dire che se ci fosse un elemento nell'insieme iniziale multiplo di $p$, allora solo uno dei 2 sottoinsieme è congruo a 0 modulo $p$, giusto?), solo che non ho chiaro il discorso dell'intersezione con $p\mathbb Z$
) che $\mathbb Z/p\mathbb Z$ indichi il "quoziente" fra $\mathbb Z$ e l'insieme dei multipli di $p$, per l'appunto le classi di resto modulo $p$ 
